Feladat: F.1749 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Jegess Marianna ,  Rózsa Attila 
Füzet: 1971/november, 126 - 127. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/január: F.1749

Határozzuk meg a következő egyenlet pozitív egész megoldásait:
xyz+2x+3y+6z=xy+2xz+3yz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy a bal oldal első három tagjának megtalálható a jobb oldalon vagy a z-szerese vagy pedig a z-edrésze ‐ és ezek egymástól különböző tagok ‐, tehát e tagpárokból a 0-ra redukálás után kiemelhető a (z-1) tényező. Ha pedig még mindkét oldalból levonunk 6-ot, az egész bal oldalból kiemelhető (z-1):

(z-1)(xy-2x-3y+6)=-6.
Könnyű belátni továbbá, hogy a második zárójelbeli kifejezés is szorzattá alakítható, így egyenletünk ekvivalens a következővel:
(x-3)(y-2)(z-1)=-6.(1)

Itt mindhárom tényező egész szám, és x, y, z>0 folytán
x-3-2,y-2-1,z-10.
A jobb oldal abszolút értéke pedig a következő két módon írható három természetes szám szorzataként: 611 és 321. Ezeket egybevetve, az egyes tényezőkre szóba jövő értékek a következők:
(x-3)-ra:-2,-1,1,2,3,6,(y-2)-re:-1,1,2,3,6,(z-1)-re:1,2,3,6,
és ezekből kell összeválogatnunk egyet-egyet úgy, hogy szorzatuk -6 legyen.
Alábbi táblázatunk egymás utáni oszlopaiban először azokat az összeválogatásokat írtuk fel, amelyekben (1) egymás utáni tényezőinek értéke 6, és ezért a másik két tényező szorzata -1=(-1)1=1(-1), majd azokat, amelyekben egyik tényező 3 és a hátra levők szorzata -2=(-2)1=(-1)2. Mindjárt felírtuk x, y, z értékét is, a kívánt értékrendszerek száma 10.

x-3:6,-1,-1,1;3,-2,-1,-2,-1,2,y-2:-1,6,1,-1;-1,3,3,1,2,-1,z-1:1,1,6,6;2,1,2,3,3,3,x:9,2,2,4;6,1,2,1,2,5,y:1,8,3,1;1,5,5,3,4,1,z:2,2,7,7;3,2,3,4,4,4.
Rózsa Attila (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t.)

Jegess Marianna (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., III. o. t.)