Kezdőlap


Feladat:	F.1749	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jegess Marianna , Rózsa Attila
Füzet:	1971/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: F.1749

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy a bal oldal első három tagjának megtalálható a jobb oldalon vagy a $z$ -szerese vagy pedig a $z$ -edrésze ‐ és ezek egymástól különböző tagok ‐, tehát e tagpárokból a $0$ -ra redukálás után kiemelhető a $(z - 1)$ tényező. Ha pedig még mindkét oldalból levonunk $6$ -ot, az egész bal oldalból kiemelhető $(z - 1)$ :

\begin{matrix} (z - 1) (x y - 2 x - 3 y + 6) = - 6. \end{matrix}

Könnyű belátni továbbá, hogy a második zárójelbeli kifejezés is szorzattá alakítható, így egyenletünk ekvivalens a következővel:

\begin{matrix} (x - 3) (y - 2) (z - 1) = - 6. \end{matrix}

(1)

Itt mindhárom tényező egész szám, és

x

y

z > 0

folytán

\begin{matrix} x - 3 \geq - 2, y - 2 \geq - 1, z - 1 \geq 0. \end{matrix}

A jobb oldal abszolút értéke pedig a következő két módon írható három természetes szám szorzataként:

6 \cdot 1 \cdot 1

és

3 \cdot 2 \cdot 1

. Ezeket egybevetve, az egyes tényezőkre szóba jövő értékek a következők:

\begin{matrix} \begin{matrix} (x - 3) - ra : & - 2, & - 1, & 1, & 2, & 3, & 6, \\ (y - 2) - re : & - 1, & 1, & 2, & 3, & 6, \\ (z - 1) - re : & 1, & 2, & 3, & 6, \end{matrix} \end{matrix}

és ezekből kell összeválogatnunk egyet-egyet úgy, hogy szorzatuk

- 6

legyen.
Alábbi táblázatunk egymás utáni oszlopaiban először azokat az összeválogatásokat írtuk fel, amelyekben (1) egymás utáni tényezőinek értéke

6

, és ezért a másik két tényező szorzata

- 1 = (- 1) \cdot 1 = 1 \cdot (- 1)

, majd azokat, amelyekben egyik tényező

3

és a hátra levők szorzata

- 2 = (- 2) \cdot 1 = (- 1) \cdot 2

. Mindjárt felírtuk

x

y

z

értékét is, a kívánt értékrendszerek száma

10

\begin{matrix} x - 3 : & 6, & - 1, & - 1, & 1; & 3, & - 2, & - 1, & - 2, & - 1, & 2, \\ y - 2 : & - 1, & 6, & 1, & - 1; & - 1, & 3, & 3, & 1, & 2, & - 1, \\ z - 1 : & 1, & 1, & 6, & 6; & 2, & 1, & 2, & 3, & 3, & 3, \\ x : & 9, & 2, & 2, & 4; & 6, & 1, & 2, & 1, & 2, & 5, \\ y : & 1, & 8, & 3, & 1; & 1, & 5, & 5, & 3, & 4, & 1, \\ z : & 2, & 2, & 7, & 7; & 3, & 2, & 3, & 4, & 4, & 4. \end{matrix}

Rózsa Attila (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t.)

Jegess Marianna (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., III. o. t.)