Feladat: F.1740 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Garay András ,  Pataricza András 
Füzet: 1971/november, 122 - 123. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/november: F.1740

Egy háromszög egyik szöge α, ennek csúcsából kiinduló belső és külső szögfelezőjének hossza f, illetőleg g. Számítsuk ki a háromszög oldalait.
Numerikus adatok: α=30, f=106, g=239 egység.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Legyen a háromszög a szokásos jelöléssel ABC, a szögfelezők f=AF, g=AG, és válasszuk úgy a betűzést, hogy AB>AC legyen (hiszen g véges volta miatt ABAC), így pontjaink sorrendje a BC egyenesen B, F, C, G.

 

 

A belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, így az FGA derékszögű háromszögből meghatározható az AFG=AFC=φ szög, így pedig háromszögünk szögei:
β=φ-α2,γ=180-(φ+α2).(1)
Ezekkel a sinustétel alapján, előbb az ABF, ACF háromszögből az addíciótételt is felhasználva
c=AB=fsin(180-φ)sin(φ-α2)=fFGsinφFGsinφcosα2-FGcosφsinα2=fggcosα2-fsinα2,(2)


ugyanígy
b=AC=fsinφsinγ=fggcosα2+fsinα2,(3)
végül a keresett háromszögből
a=bsinαsinβ=fgf2+g2sinαg2cos2α2-f2sin2α2.(4)
Ezzel megadtuk az oldalaknak az adatokkal való kifejezéseit.
A számítás valódi háromszöget ad, ha c nevezője pozitív (mert akkor a nevezője is pozitív):
gcosα2-fsinα2>0,
amiből
tgα2<gf=tgφ,α2<φ,
hiszen f, g pozitívok, másrészt α/2 és φ hegyesszögek.
Ugyanerre a feltételre vezet a háromszög szerkesztő megoldása, az AB félegyenes B pontjának az FG szakasz F-en túli meghosszabbításán kell lennie, evégett az FAB szögnek kisebbnek kell lennie az AFG szög A-beli váltószögénél.
II. A számadatokkal φ=665', β=515', γ=9855', b=98,08, c=124,5, a=63,03 egység. (A numerikus számítás egyszerűbb tgφ=g/f-ből φ, β és γ kiszámításával, mint (2)‐(4) alapján.)
 

Garay András (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)
 

II. megoldás. Területi meggondolásokkal vezetjük le a fenti kifejezéseket. Az FGA derékszögű háromszög területe egyenlő az ACF és ACG háromszögek területének összegével is és az ABG és ABF területének különbségével is. Mindegyik terület 2-szeresét két oldal és a bezárt szög sinusa szorzataként írva
bfsinα2+bgcosα2=fg,cgsin(90+α2)-cfsinα2=fg,
ahonnan kiemeléssel, osztással (3)-ra, ill. (2)-re jutunk.
Másrészt az FGA háromszög A-ból induló magassága közös az ABC háromszögével, így területeik aránya egyenlő alapjaik arányával
af2+g2=bcsinαfg,
ahová b, c kifejezéseit behelyettesítve (4)-et kapjuk.
 

Pataricza András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)