Feladat: 1314. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bóta K. ,  Deák I. ,  Dobozy O. ,  Horányi S. ,  Hortobágyi J. ,  Huhn A. ,  Kafka P. ,  Kerényi I. ,  Körner J. ,  Lux I. ,  Márki László ,  Mátrai M. ,  Nagy Klára ,  Pelikán J. ,  Sükösd Cs. ,  Székely G. ,  Veres F. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/április, 162 - 163. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb sokszögek egybevágósága, Függvényvizsgálat, Terület, felszín, Téglalapok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/április: 1314. matematika feladat

Egy téglalap alakú lemez oldalaira két módon mérünk rá egyenlő szakaszokat. Az első esetben mindegyik csúcsból kiindulva a következő csúcs felé (a téglalap egyik körüljárása irányában), másodszor az egyik átló végpontjaiból kiindulva a két szomszédos csúcs felé. Tekintsük mindkét esetben a szakaszok végpontjaival mint csúcsokkal meghatározott négyszög területét. Mekkora szakasz felmérése esetén vesz fel szélső értéket a terület az egyes esetekben? Mekkora szakasz felmérése esetén lesz egyenlő a két módon nyert négyszög területe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyenek a téglalap oldalai a és b, ahol ab(>0), az oldalakra felmért szakasz hossza x, így a keletkezett négyszögek területét mint x függvényét a

0<xb(1)
intervallumban kell vizsgálnunk. A felmért szakaszok végpontjait az oldalak sorrendjében összekötve, a téglalapról derékszögű háromszögeket vágunk le, közülük mindkét mód esetében 2-2 egybevágó (az ábra α, ill. β része). A területek x-nek másodfokú függvényei, mindjárt teljes négyzetté kiegészítéssel
t1=ab-x(b-x)-(a-x)x=2x2-(a+b)x+ab==2(x-a+b4)2+ab-(a+b4)2,t2=ab-(a-x)(b-x)-x2=-2x2+(a+b)x==-2(x-a+b4)2+(a+b4)2.


 

Vegyük észre mindjárt, hogy t1+t2=ab, azaz a két idom területének összege egyenlő az adott téglalap területével, egyikük növekedésével a másik csökken, így a két kérdésre a választ egy csapásra adhatjuk meg. (Másrészt a lemez feldarabolási tervét mindkét módon elkészítve a levágott 8 háromszög együttes területe is ab, ezt mutatja be átdarabolással az ábra γ része.)
t1-nek az x-től függő tagja nem negatív, így legkisebb értékét akkor veszi fel, ha ez a tag 0, vagyis
x0=a+b4esetént1min=ab-(a+b4)2,
amennyiben x0 a mondott intervallumba esik, vagyis ha
a+b4b,ba3,(2)
egyelőre ezt az esetet tekintjük. A fentiek szerint ugyanezen feltételek mellett
t2max=(a+b4)2.
(t1-től függetlenül is látható, hogy így t2 változó tagja 0, különben pedig negatív.) Ha a=b, akkor x0=a/2.
x-et x0-tól akár lefelé, akár fölfelé távolítva t1 növekszik, és legnagyobb értékét ott veszi fel, ahol az |x-x0| eltérés a legnagyobb. Lefelé nagyobb távolságra távolodhatunk x0-tól, mint fölfelé, ugyanis az x0-lal kettévágott (1) intervallum első és második része hosszainak különbsége
(x0-0)-(b-x0)=2x0-b=a-b20.
Eszerint t1 legnagyobb (és t2 legkisebb) értéke x=0-nál adódnék: t1=ab, ill. t2=0 (t2 elfajul az átlószakasszá), az x=0 értéket viszont (1)-ben kizártuk. Eszerint a (2) esetben t1 nem vesz fel legnagyobb és t2 nem vesz fel legkisebb értéket.
b<a/3a>3b esetén a t1-et minden x-re ábrázoló parabola alul elhelyezkedő csúcsának (és a t2-t ábrázoló parabola fönt elhelyezkedő csúcsának közös) x0 abszcisszája jobbra esik az (1) intervallumtól, mert
x0=a+b4>3b+b4=b.
Ezért t1-et (1)-ben a parabola süllyedő ágának egy íve ábrázolja, így t1 az (1) jobb végpontjában veszi fel legkisebb értékét:
x=besetént'1min=b2,ést'2max=ab-b2,
másrészt t1 ugyanúgy nem vesz fel legnagyobb értéket és t2 sem vesz fel legkisebbet, mint az előbbi esetben.
II. A t1=t2 követelmény a fentiek szerint akkor teljesül, ha
4x2-2(a+b)x+ab=0,vagyis  hax1=a/2,x2=b/2.
Az utóbbi érték mindig felmérhető a lemezre, az előbbi csak a/2b, azaz ba2b esetén. Mindkét esetben a két mód szerinti felmérés nemcsak egyenlő területű, hanem egyszersmind egybevágó négyszögekre vezet.
 Márki László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)