Feladat: 1296. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bak Zsuzsanna ,  Berecz A. ,  Berecz I. ,  Berendi Emma ,  Bóta K. ,  Csaba L. ,  Deák I. ,  Ferenczi Gy. ,  Ferenczi M. ,  Havas J. ,  Herényi I. ,  Horányi S. ,  Horváth J. ,  Huhn A. ,  Jahn L. ,  Kiss Katalin ,  Kövér Á. ,  Lehel Cs. ,  Lovász László ,  Lux I. ,  Márki L. ,  Máté Mária ,  Mészáros L. ,  Nagy 111. Klára ,  Nagy 444. István ,  Nagy 999. László ,  Nagy Pál Géza ,  Pelikán J. ,  Szabó Judit ,  Szabó M. ,  Szalay A. ,  Szántó O. ,  Székely G. ,  Szemkeő Judit ,  Szép A. ,  Sövényházy Mária ,  Végh M. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/január, 14 - 17. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Térelemek és részeik, Szerkesztések a térben, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/január: 1296. matematika feladat

Az S és T egymásra merőleges síkok közös egyenese m, egy‐egy pontjuk C, ill. D, ezek vetülete m-re C', D' és CC'=c, DD'=d, C'D'=e. Szerkesszünk olyan két egyenlő sugarú, egymást érintő gömböt, melyek egyike S-et C-ben, másika T-t D-ben érinti.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gömböket megszerkesztettnek tekintjük, ha meg tudjuk szerkeszteni sugaruk hosszát. Ekkor ugyanis a sugarat az érintési pontban a megfelelő síkra állított merőlegesre ‐ kellő irányban ‐ felmérve megkapjuk a gömb középpontját.

 

 

1. ábra
 
 

A gömbök r sugarát számítással állapítjuk meg. Keressünk olyan megoldást, melyben a két gömb Gc, ill. Gd középpontja abban a térnegyedben van, amelyet síkjainknak az érintési pontokat tartalmazó félsíkjai határolnak. (Azt a kivételes esetet, ha C és D között van az m-en fekvő pont, később tekintjük.) Fektessünk Gc-n és Gd-n át 3‐3 olyan síkot, melyek egyike S-sel, másika T-vel párhuzamos, harmadikuk pedig merőleges m-re (1. ábra). Ez a 6 sík téglatestet határol, melyben a GcGd szakasz testátló ‐ és hossza a gömbök érintkezése folytán 2r ‐, egy csúcsba összefutó 3 éle közül az m-mel párhuzamosnak hossza e, az S-re, ill. T-re merőleges él hossza pedig d-r, ill. c-r abszolut értéke. (A c, d, e méreteket pozitívnak vesszük, mert a feladatban semmiféle irányítás nem szerepel.) Ezekből a testátlóra ismert összefüggés szerint
(c-r)2+(d-r)2+e2=4r2,r2+(c+d)r-c2+d2+e22=0,
amiből
r=12(±2(c2+d2+e2)+(c+d)2-(c+d)),(1)
és ez pl. a Pythagorász‐tétel ismételt alkalmazásával megszerkeszthető (2. ábra, az egymás után szerkesztett derékszögű háromszögeket I., II., III., IV. jelöli), a keresett gömbök átmérőjének hossza az MN szakasz, ebből ‐ mint láttuk ‐ a gömbök megszerkeszthetők.
 
 

2. ábra
 
 
A négyzetgyököt + jellel véve r nyilvánvalóan pozitív. Azonban a negatív r is ad egy megoldást, r negatív volta azt jelenti, hogy a középpontokba C-ből és D-ből a felvett irányokkal ellentétes irányban haladva jutunk el, a két középpont az eddig tekintett térnegyeddel szomszédos két térnegyed egyikében, ill. másikában van. Ebben a megoldásban az S-síkot C-ben érintő gömb átmetszi a T síkot, a másik gömb pedig átmetszi S-et (az 1. ábra helyzetében az előbbi S alatt van, az utóbbi T mögött), ‐ ugyanis p1. az első gömbnek nincs pontja S fölött, tehát az érintkezési pont csak S alatt lehet. Emiatt nem lehet szó a megoldás elvetéséről, mert pl. az S-et C-ben érintő gömb T-vel való kölcsönös helyzetére nem áll fenn követelmény.
 

További két megoldást kapunk abból a feltevésből kiindulva, hogy Gd a T-nek azon az oldalán van, mint C, Gc pedig az S-nek D-vel ellentétes oldalán. Így a fenti számításban |d-r| helyére d+r lép, r értékét (1) adja meg, ha d helyére -d-t írunk. A gyökök itt is ellentétes előjelűek, mert szorzatuk, az egyenlet r-et nem tartalmazó tagja, negatív. A pozitív gyökkel kapjuk a fenti helyzetű Gc, Gd középpontokat, a negatív gyököt véve pedig Gc az S fölött, Gd a T mögött áll elő, mindkét megoldásban a gömbök az egyik síkot érintik, a másikat metszik. ‐ Minden lehetőséget figyelembe vettünk, több megoldás nincs.
 

Előfordulhat, hogy Gc és Gd az első esetben vizsgált térnegyedben vannak, de a gömbök egyike mégis metszi a nem érintett síkot. Ilyen az az eset is, ha pl. d=0, hiszen ekkor minden lehetséges Gd benne van S-ben. Csak abban az esetben nincs megoldás, ha C és D azonos, ekkor c=d=e=0.
 
 Lovász László (Budapest, Fazekas M. Gyak. G. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A pozitív r-re szorítkozva a sugarat az r(r+c+d)=(c2+d2+e2)/2 egyenletalakból a kör érintőjére ismert tétel alapján is megszerkeszthetjük.
 

2. A feladat nem írta elő az összes megoldások megkeresését, a teljes megoldást a minél jobb térszemlélet kialakítása érdekében közöltük. Ezt kívánja segíteni a 3. ábra esete is, amelyen C'D', e=0, C, D, Gc, Gd és az érintkezési pontok benne vannak abban a C'-n átmenő U síkban, amely merőleges m-re, a gömböknek csak az U-ba eső főkörét látjuk; c=4, d=1 egység.
 
 

3. ábra
 
 

II. megoldás. Tekintsük az S-et C-ben érintő gömb felületén a GdD-vel megegyező irányú sugár E végpontját. Ekkor DE=GdGc=2GcE, mert a GcGdDE négyszög paralelogramma.
 

Kicsinyítsük az ábrát (a térbeli D, Gc, Gd, E pontrendszert) C-ből mint középpontból. A kicsinyítés arányát folytonosan változtatva a pontok képe rendre a CD, CGc, CGd, CE egyenesen mozog, és a GcGd szakasz kicsinyített képe mindig 2-szerese CGc, DGd és GcE képének.
 

Mérjünk fel az S-re C-ben állított n merőleges egyenesre ‐ Gc várt helyzetének irányában ‐ egy tetszés szerinti r* szakaszt, legyen a végpont Gc*; továbbá Gc*-ból T-re merőlegesen ‐ a várt GdD irányban ‐ ugyancsak r*-ot, a végpont E*. Írjunk végül kört a CDE* síkban E* körül 2r* sugárral, és messe ez a CD egyenest a D1*, D2* pontokban. Így a C, E*, Di* pontrendszer (i=1 2) hasonló helyzetű a C, E, D pontrendszerhez, ennélfogva E-t kimetszhetjük a CE* egyenesből a D-n át Di*E*-gal párhuzamosan vezetett egyenessel. Hasonlóan Gc-t n-ből kimetszi az E-n átmenő T-re merőleges egyenes, végül Gd-t a GcEDGd paralelogramma negyedik csúcsa adja, és a keresett gömbök sugara GcC=GcE=GdD.
 

A CGc* és Gc*E* irány megválasztására 2‐2 lehetőség van, de ezek csak két CE* egyenest adnak, így a fenti i=1, 2 eseteket sorra véve 4 megoldást kapunk. Az olvasóra hagyjuk annak bizonyítását, hogy a kapott gömbök kielégítik a feladat követelményeit.
 

 M. I. nyomán