Kezdőlap


Feladat:	1296. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bak Zsuzsanna , Berecz A. , Berecz I. , Berendi Emma , Bóta K. , Csaba L. , Deák I. , Ferenczi Gy. , Ferenczi M. , Havas J. , Herényi I. , Horányi S. , Horváth J. , Huhn A. , Jahn L. , Kiss Katalin , Kövér Á. , Lehel Cs. , Lovász László , Lux I. , Márki L. , Máté Mária , Mészáros L. , Nagy 111. Klára , Nagy 444. István , Nagy 999. László , Nagy Pál Géza , Pelikán J. , Szabó Judit , Szabó M. , Szalay A. , Szántó O. , Székely G. , Szemkeő Judit , Szép A. , Sövényházy Mária , Végh M. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1965/január, 14 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Térelemek és részeik, Szerkesztések a térben, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/január: 1296. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gömböket megszerkesztettnek tekintjük, ha meg tudjuk szerkeszteni sugaruk hosszát. Ekkor ugyanis a sugarat az érintési pontban a megfelelő síkra állított merőlegesre ‐ kellő irányban ‐ felmérve megkapjuk a gömb középpontját.

1. ábra

A gömbök

r

sugarát számítással állapítjuk meg. Keressünk olyan megoldást, melyben a két gömb

G_{c}

, ill.

G_{d}

középpontja abban a térnegyedben van, amelyet síkjainknak az érintési pontokat tartalmazó félsíkjai határolnak. (Azt a kivételes esetet, ha

C

és

D

között van az

m

-en fekvő pont, később tekintjük.) Fektessünk

G_{c}

-n és

G_{d}

-n át 3‐3 olyan síkot, melyek egyike

S

-sel, másika

T

-vel párhuzamos, harmadikuk pedig merőleges

m

-re (1. ábra). Ez a 6 sík téglatestet határol, melyben a

G_{c} G_{d}

szakasz testátló ‐ és hossza a gömbök érintkezése folytán

2 r

‐, egy csúcsba összefutó 3 éle közül az

m

-mel párhuzamosnak hossza

e

, az

S

-re, ill.

T

-re merőleges él hossza pedig

d - r

, ill.

c - r

abszolut értéke. (A

c

d

e

méreteket pozitívnak vesszük, mert a feladatban semmiféle irányítás nem szerepel.) Ezekből a testátlóra ismert összefüggés szerint

\begin{matrix} {(c - r)}^{2} + {(d - r)}^{2} + e^{2} = 4 r^{2}, \\ r^{2} + (c + d) r - \frac{c^{2} + d^{2} + e^{2}}{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} r = \frac{1}{2} (\pm \sqrt[]{2 (c^{2} + d^{2} + e^{2}) + {(c + d)}^{2}} - (c + d)), \end{matrix}

(1)

és ez pl. a Pythagorász‐tétel ismételt alkalmazásával megszerkeszthető (2. ábra, az egymás után szerkesztett derékszögű háromszögeket I., II., III., IV. jelöli), a keresett gömbök átmérőjének hossza az

M N

szakasz, ebből ‐ mint láttuk ‐ a gömbök megszerkeszthetők.

2. ábra

A négyzetgyököt

+

jellel véve

r

nyilvánvalóan pozitív. Azonban a negatív

r

is ad egy megoldást,

r

negatív volta azt jelenti, hogy a középpontokba

C

-ből és

D

-ből a felvett irányokkal ellentétes irányban haladva jutunk el, a két középpont az eddig tekintett térnegyeddel szomszédos két térnegyed egyikében, ill. másikában van. Ebben a megoldásban az

S

-síkot

C

-ben érintő gömb átmetszi a

T

síkot, a másik gömb pedig átmetszi

S

-et (az 1. ábra helyzetében az előbbi

S

alatt van, az utóbbi

T

mögött), ‐ ugyanis p1. az első gömbnek nincs pontja

S

fölött, tehát az érintkezési pont csak

S

alatt lehet. Emiatt nem lehet szó a megoldás elvetéséről, mert pl. az

S

-et

C

-ben érintő gömb

T

-vel való kölcsönös helyzetére nem áll fenn követelmény.

További két megoldást kapunk abból a feltevésből kiindulva, hogy

G_{d}

T

-nek azon az oldalán van, mint

C

G_{c}

pedig az

S

-nek

D

-vel ellentétes oldalán. Így a fenti számításban

| d - r |

helyére

d + r

lép,

r

értékét (1) adja meg, ha

d

helyére

- d

-t írunk. A gyökök itt is ellentétes előjelűek, mert szorzatuk, az egyenlet

r

-et nem tartalmazó tagja, negatív. A pozitív gyökkel kapjuk a fenti helyzetű

G_{c}

G_{d}

középpontokat, a negatív gyököt véve pedig

G_{c}

S

fölött,

G_{d}

T

mögött áll elő, mindkét megoldásban a gömbök az egyik síkot érintik, a másikat metszik. ‐ Minden lehetőséget figyelembe vettünk, több megoldás nincs.

Előfordulhat, hogy

G_{c}

és

G_{d}

az első esetben vizsgált térnegyedben vannak, de a gömbök egyike mégis metszi a nem érintett síkot. Ilyen az az eset is, ha pl.

d = 0

, hiszen ekkor minden lehetséges

G_{d}

benne van

S

-ben. Csak abban az esetben nincs megoldás, ha

C

és

D

azonos, ekkor

c = d = e = 0

Lovász László (Budapest, Fazekas M. Gyak. G. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A pozitív

r

-re szorítkozva a sugarat az

r (r + c + d) = (c^{2} + d^{2} + e^{2}) / 2

egyenletalakból a kör érintőjére ismert tétel alapján is megszerkeszthetjük.

2. A feladat nem írta elő az összes megoldások megkeresését, a teljes megoldást a minél jobb térszemlélet kialakítása érdekében közöltük. Ezt kívánja segíteni a 3. ábra esete is, amelyen

C' \equiv D'

e = 0

C

D

G_{c}

G_{d}

és az érintkezési pontok benne vannak abban a

C'

-n átmenő

U

síkban, amely merőleges

m

-re, a gömböknek csak az

U

-ba eső főkörét látjuk;

c = 4

d = 1

egység.

3. ábra

II. megoldás. Tekintsük az

S

-et

C

-ben érintő gömb felületén a

G_{d} D

-vel megegyező irányú sugár

E

végpontját. Ekkor

D E = G_{d} G_{c} = 2 G_{c} E

, mert a

G_{c} G_{d} D E

négyszög paralelogramma.

Kicsinyítsük az ábrát (a térbeli

D

G_{c}

G_{d}

E

pontrendszert)

C

-ből mint középpontból. A kicsinyítés arányát folytonosan változtatva a pontok képe rendre a

C D

C G_{c}

C G_{d}

C E

egyenesen mozog, és a

G_{c} G_{d}

szakasz kicsinyített képe mindig 2-szerese

C G_{c}

D G_{d}

és

G_{c} E

képének.

Mérjünk fel az

S

-re

C

-ben állított

n

merőleges egyenesre ‐

G_{c}

várt helyzetének irányában ‐ egy tetszés szerinti

r^{*}

szakaszt, legyen a végpont

G_{c}^{*}

; továbbá

G_{c}^{*}

-ból

T

-re merőlegesen ‐ a várt

G_{d} D

irányban ‐ ugyancsak

r^{*}

-ot, a végpont

E^{*}

. Írjunk végül kört a

C D E^{*}

síkban

E^{*}

körül

2 r^{*}

sugárral, és messe ez a

C D

egyenest a

D_{1}^{*}

D_{2}^{*}

pontokban. Így a

C

E^{*}

D_{i}^{*}

pontrendszer (

i = 1

2) hasonló helyzetű a

C

E

D

pontrendszerhez, ennélfogva

E

-t kimetszhetjük a

C E^{*}

egyenesből a

D

-n át

D_{i}^{*} E^{*}

-gal párhuzamosan vezetett egyenessel. Hasonlóan

G_{c}

-t

n

-ből kimetszi az

E

-n átmenő

T

-re merőleges egyenes, végül

G_{d}

-t a

G_{c} E D G_{d}

paralelogramma negyedik csúcsa adja, és a keresett gömbök sugara

G_{c} C = G_{c} E = G_{d} D

C G_{c}^{*}

és

G_{c}^{*} E^{*}

irány megválasztására 2‐2 lehetőség van, de ezek csak két

C E^{*}

egyenest adnak, így a fenti

i = 1

, 2 eseteket sorra véve 4 megoldást kapunk. Az olvasóra hagyjuk annak bizonyítását, hogy a kapott gömbök kielégítik a feladat követelményeit.

M. I. nyomán