Feladat: 1259. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Aczél G. ,  Bak Zsuzsanna ,  Bálint László ,  Bódi Zoltán ,  Bóta K. ,  Csirik János ,  Deák István ,  Dénes Endre ,  Dévaj Ágnes ,  Földes Antónia ,  Gecsey László ,  Gulyás M. ,  Hanák P. ,  Havas János ,  Hegedűs Aletta ,  Holló Klára ,  Huhn András ,  Kiss Katalin ,  Komor Tamás ,  Körner János ,  Langer László ,  Lehel Csaba ,  Lovász László ,  Lukács Lídia ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Sófalvi M. ,  Székely Gábor ,  Szenthe P. ,  Sövényházy Mária ,  Toldi Z. ,  Treer M. ,  Varga Kornél ,  Veres Ferenc ,  Ürögdi L. 
Füzet: 1964/április, 156 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Különleges függvények, Egész számok összege, Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani sorozat, Tizes alapú számrendszer, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 1259. matematika feladat

Gondoljuk, hogy a 100-999 természetes számok mindegyikéhez kiszámítottuk a számjegyek S összegét, továbbá, hogy megszámláltuk: a lehetséges S=1, 2, 3, ..., 27 értékek mindegyike hányszor fordul elő. Mutassuk meg, hogy az S érték előfordulásának f(S) számát a következő kifejezések állítják elő:
f(S)={n(n+1)2,ha11S29;-n2+28n-126,ha10S18;n2-57n+8122,ha19S27;

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Jelöljük egy tetszőleges 3-jegyű szám jegyeit A, B, C-vel, ekkor S=A+B+C. Legyen először 1S9. Egy ilyen S-érték mellett A lehetséges értékei 1, 2, ... S és A-t rögzítve B a 0-tól S-A-ig terjedő egészek bármelyike lehet, hiszen S-A9-1=8, és a C-re ebből egyértelműen meghatározott S-A-B érték is 0 és 8 közt van. Így adott A-val S-A+1 számot, azaz A növekvő értékei mellett sorra S, S-1, S-2, ..., 2, 1 számot kapunk. A vizsgált esetben tehát azoknak a 3-jegyű számoknak a száma, amelyekben a számjegyek összege S:

f(S)=S+(S-1)+...+2+1=S(S+1)2,(1)
az állítás első részének megfelelően.
 
II. Könnyen visszavezethetjük az előbbire a 19 és 27 közé eső jegyösszegek esetét. Egy ide tartozó ABC¯ számhoz (amelyre tehát
19A+B+C=S27,1A9,0B,C9)
képezzük az
A'=10-A,B'=9-B,C'=9-C(2)
jegyekkel felírt számot. Erre egyrészt
9A'1,9B',C'0,
vagyis A'B'C'¯ a figyelembe vett számok közül való, másrészt S'=A'+B'+C'=28-S, tehát 9S'1.
 
A'B'C'¯-höz az A=10-A', B=9-B', C=9-C' képletek alapján (vagyis lényegében ismét (2) szerint) határozhatjuk meg azt a számot, amelyhez hozzárendeltük.
Ezek szerint 19S27-re ugyanannyi 3-jegyű szám van, amelyben a számjegyek összege S, mint ahány 3-jegyű szám van S'=28-S számjegyösszeggel, vagyis
f(S)=(28-S)(29-S)2=S2-57S+8122,
az állítás harmadik részének megfelelően.
 
III. Legyen végül 10S18. Ekkor A 1-től 9-ig minden értéket felvehet, és ha A értéket rögzítettük, és B+C=S-A9, akkor a B, C jegyekre végződő számok száma az I. esethez hasonlóan B+C+1=S+1-A. Ez áll A-nak S -9-től 9-ig terjedő értékeire, ezért az összes ilyen számok számát a következő számtani sor adja:
[(S+1)-(S-9)]+[(S+1)-(S-8)]+...+[(S+1)-9]==12(19-S)[2(S+1)-S]=12(19-S)(2+S).(3)



Ha viszont B+C=S-A>9, akkor B lehetséges értékeinek számát megkapjuk úgy, hogy a fent használt B+C+1=S+1-A számból kivonjuk az olyan értékek számát, amelyekre B>9, vagy C>9. Az előbbiek száma is, az utóbbiaké is (S+1-A)-10=S-9-A, tehát B lehetséges értékeinek száma (S+1-A)-2(S-9-A)=19-S+A (ugyanis B>9 és C>9 egyidejűleg lehetetlen, mert S>19-re vezet). Ez áll A-nak S-9-nél kisebb értékeire, 1, 2, ..., S-10-re, ezért az ilyen ABC¯ számok együttes száma
[(19-S)+1]+[(19-S)+2]+...+[(19-S)+(S-10)]==12(S-10)(38-2S+S-9)=12(S-10)(29-S).(4)



Ezek szerint adott, 10 és 18 közti S esetén az S számjegyösszeget adó háromjegyű számok száma (3)-ból és (4)-ből összeadással
12[(38+17S-S2)+(-290+39S-S2)]=-S2+28S-126.
Ezzel az állítást S mindhárom részintervallumára igazoltuk.
 
 Dénes Endre (Nagykőrös, Arany J. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Lényegében ugyanígy jártak el ‐ de sokkal több munkát végeztek ‐, akik felírták egy táblázat egymás utáni soraiba azoknak a számoknak a számát, amelyek első jegye egy adott érték (1-től 9-ig) és a számjegyek összege rendre 1, 2, ..., 27. Ekkor az S-edik oszlopban levő számok összege f(S). A táblázat szabályosságainak megfigyeléséből jutottak el azután a feladat állításának bizonyításához.