|
Feladat: |
1259. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Aczél G. , Bak Zsuzsanna , Bálint László , Bódi Zoltán , Bóta K. , Csirik János , Deák István , Dénes Endre , Dévaj Ágnes , Földes Antónia , Gecsey László , Gulyás M. , Hanák P. , Havas János , Hegedűs Aletta , Holló Klára , Huhn András , Kiss Katalin , Komor Tamás , Körner János , Langer László , Lehel Csaba , Lovász László , Lukács Lídia , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi M. , Székely Gábor , Szenthe P. , Sövényházy Mária , Toldi Z. , Treer M. , Varga Kornél , Veres Ferenc , Ürögdi L. |
Füzet: |
1964/április,
156 - 157. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Különleges függvények, Egész számok összege, Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani sorozat, Tizes alapú számrendszer, Számelmélet alaptétele, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1963/szeptember: 1259. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Jelöljük egy tetszőleges 3-jegyű szám jegyeit , , -vel, ekkor . Legyen először . Egy ilyen -érték mellett lehetséges értékei 1, 2, és -t rögzítve a 0-tól -ig terjedő egészek bármelyike lehet, hiszen , és a -re ebből egyértelműen meghatározott érték is 0 és 8 közt van. Így adott -val számot, azaz növekvő értékei mellett sorra , , , , 2, 1 számot kapunk. A vizsgált esetben tehát azoknak a 3-jegyű számoknak a száma, amelyekben a számjegyek összege : | | (1) | az állítás első részének megfelelően.
II. Könnyen visszavezethetjük az előbbire a 19 és 27 közé eső jegyösszegek esetét. Egy ide tartozó számhoz (amelyre tehát | | képezzük az jegyekkel felírt számot. Erre egyrészt vagyis a figyelembe vett számok közül való, másrészt , tehát .
-höz az , , képletek alapján (vagyis lényegében ismét (2) szerint) határozhatjuk meg azt a számot, amelyhez hozzárendeltük. Ezek szerint -re ugyanannyi 3-jegyű szám van, amelyben a számjegyek összege , mint ahány 3-jegyű szám van számjegyösszeggel, vagyis | | az állítás harmadik részének megfelelően.
III. Legyen végül . Ekkor A 1-től 9-ig minden értéket felvehet, és ha értéket rögzítettük, és , akkor a , jegyekre végződő számok száma az I. esethez hasonlóan . Ez áll -nak -től -ig terjedő értékeire, ezért az összes ilyen számok számát a következő számtani sor adja:
Ha viszont , akkor lehetséges értékeinek számát megkapjuk úgy, hogy a fent használt számból kivonjuk az olyan értékek számát, amelyekre , vagy . Az előbbiek száma is, az utóbbiaké is , tehát lehetséges értékeinek száma (ugyanis és egyidejűleg lehetetlen, mert -re vezet). Ez áll -nak -nél kisebb értékeire, 1, 2, , -re, ezért az ilyen számok együttes száma
Ezek szerint adott, 10 és 18 közti esetén az számjegyösszeget adó háromjegyű számok száma (3)-ból és (4)-ből összeadással | | Ezzel az állítást mindhárom részintervallumára igazoltuk.
Dénes Endre (Nagykőrös, Arany J. g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Lényegében ugyanígy jártak el ‐ de sokkal több munkát végeztek ‐, akik felírták egy táblázat egymás utáni soraiba azoknak a számoknak a számát, amelyek első jegye egy adott érték (1-től 9-ig) és a számjegyek összege rendre 1, 2, , 27. Ekkor az -edik oszlopban levő számok összege . A táblázat szabályosságainak megfigyeléséből jutottak el azután a feladat állításának bizonyításához. |
|