Feladat: 1229. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berkes István ,  Csirik János ,  Dobó Ferenc ,  Doskar Balázs ,  Draskovits P. ,  Ferenczy Éva ,  Folly Gábor ,  Földeáki Mária ,  Földes Antónia ,  Gazsó J. ,  Gyárfás András ,  Kóbor Gy. ,  Kulcsár Gyula ,  Lipcsey Zs. ,  Lovász László ,  Lukovits G. ,  Lux I. ,  Makai Endre ,  Nárai Gy. ,  Pelikán József ,  Sófalvi Miklós ,  Somos Péter ,  Szidarovszky Ferenc ,  Szilágyi Tivadar ,  Tamás Endre ,  Tihanyi László ,  Veres Ferenc 
Füzet: 1963/november, 132 - 133. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Numerikus és grafikus módszerek, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/február: 1229. matematika feladat

Egy háromszög egy oldalát 441 méternek, a rajta levő szögeket 16,2-nak, ill. 40,6-nak mértük. Adjunk méterre kerekített közelítő értékeket a másik két oldalra, függvénytáblázat igénybevétele nélkül, az 1151. feladat * felhasználásával. ‐ Összehasonlításul számítsuk ki pontosan is az oldalakat.
*1962/1 58. old.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABC háromszögben AB=c=441 m, BAC=α=16,2, ABC=β=40,6, továbbá BC=a, és CA=b, a B-ből húzott magasság talppontja B1, BB1=m és AB1=c1, így ABB1=β1=73,8.
I. Alkalmazzuk az 1151. feladatban vizsgált képletet az ABB1 derékszögű háromszög mindkét szögére (a megfelelő görög betűvel jelöljük a szögek radiánban vett mértékszámát is; ez nem okoz félreértést).

3m2c+c1=α,3c12c+m=β1,
így elsőfokú egyenletrendszert kapunk az m, c1 befogókra:
3m-αc1=2cα,-β1m+3c1=2cβ1,
amiből
m=2cα(β1+3)9-αβ1,c1=2cβ1(α+3)9-αβ1.
Itt
α16,2116300,2828,β173,8116301,288,
a további számításokban is 4 értékes jegyet írunk ki: m123,9, c1431,9.
 
 

Most a BCB1 derékszögű háromszög a átfogóját és CB1=a1 befogóját számítjuk ki az m befogóból és a CBB1=β2=β1-β=73,8-40,6=33,2 és BCB1=γ1=α+β=56,8 szögekből. Ez az eljárás a 825. gyakorlatban látható,1 a jelölések kellő megváltoztatásával:
a1=β2γ1γ1+3β2+3m,a=9-β2γ12γ1(β2+3)m.
Innen a187,6, a147,0, tehát b=c1-a1344.
II. Pontos számítással a színusz‐tétel alapján a=147 m és b=343 m adódik.
 
 Kulcsár Gyula (Pannonhalma, Benedek‐rendi g. III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A megoldások számos különböző úton jutottak eredményre. Sokan használták pl. a Pythagorász‐tételt. Néhány dolgozat közvetlen képletet írt fel a és b-re, sokkal gyakoribb azonban a számadatok korai beírása, ami azután a számítás áttekinthetőségét csökkenti. Vegyük észre pl., hogy az αβ1 szorzat külön kiszámítása után könnyű az α(β1+3) és β1(α+3) szorzatok kiszámítása, és ez ismétlődik β2γ1, β2(γ1+3) és γ1(β2+3) esetében.
2. Feladatunk ,,az 1151. feladat felhasználásával'' írta elő az oldalak meghatározását. Elvileg pontosabb közelítő értéket kapnánk, ha az ott szereplő közelítő képleten kívül a szög pontos és közelítő értéke közti eltérésre vonatkozó (kb. 10-os lépésekben megadott) táblázatot is figyelembe vesszük. Pl. egy 40 körüli szög radiánra átszámított mértékszámát 810-4-nel csökkentve lett volna célszerű felhasználni.
1Lásd 145. o.