Kezdőlap


Feladat:	1229. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berkes István , Csirik János , Dobó Ferenc , Doskar Balázs , Draskovits P. , Ferenczy Éva , Folly Gábor , Földeáki Mária , Földes Antónia , Gazsó J. , Gyárfás András , Kóbor Gy. , Kulcsár Gyula , Lipcsey Zs. , Lovász László , Lukovits G. , Lux I. , Makai Endre , Nárai Gy. , Pelikán József , Sófalvi Miklós , Somos Péter , Szidarovszky Ferenc , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Tihanyi László , Veres Ferenc
Füzet:	1963/november, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Numerikus és grafikus módszerek, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 1229. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszögben $A B = c = 441$ m, $B A C ∢ = α = 16, 2^{\circ}$ , $A B C ∢ = β = 40, 6^{\circ}$ , továbbá $B C = a$ , és $C A = b$ , a $B$ -ből húzott magasság talppontja $B_{1}$ , $B B_{1} = m$ és $A B_{1} = c_{1}$ , így $A B B_{1} ∢ = β_{1} = 73, 8^{\circ}$ .
I. Alkalmazzuk az 1151. feladatban vizsgált képletet az $A B B_{1}$ derékszögű háromszög mindkét szögére (a megfelelő görög betűvel jelöljük a szögek radiánban vett mértékszámát is; ez nem okoz félreértést).

\begin{matrix} \frac{3 m}{2 c + c_{1}} = α, \frac{3 c_{1}}{2 c + m} = β_{1}, \end{matrix}

így elsőfokú egyenletrendszert kapunk az

m

c_{1}

befogókra:

\begin{matrix} 3 m - α c_{1} = 2 c α, - β_{1} m + 3 c_{1} = 2 c β_{1}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} m = \frac{2 c α (β_{1} + 3)}{9 - α β_{1}}, c_{1} = \frac{2 c β_{1} (α + 3)}{9 - α β_{1}} . \end{matrix}

Itt

\begin{matrix} α \approx \frac{16, 2 \cdot 11}{630} \approx 0, 2828, β_{1} \approx \frac{73, 8 \cdot 11}{630} \approx 1, 288, \end{matrix}

a további számításokban is 4 értékes jegyet írunk ki:

m \approx 123, 9

c_{1} \approx 431, 9

Most a

B C B_{1}

derékszögű háromszög

a

átfogóját és

C B_{1} = a_{1}

befogóját számítjuk ki az

m

befogóból és a

C B B_{1} ∢ = β_{2} = β_{1} - β = 73, 8^{\circ} - 40, 6^{\circ} = 33, 2^{\circ}

és

B C B_{1} ∢ = γ_{1} = α + β = 56, 8^{\circ}

szögekből. Ez az eljárás a 825. gyakorlatban látható,¹ a jelölések kellő megváltoztatásával:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{β_{2}}{γ_{1}} \cdot \frac{γ_{1} + 3}{β_{2} + 3} \cdot m, a = \frac{9 - β_{2} γ_{1}}{2 γ_{1} (β_{2} + 3)} \cdot m . \end{matrix}

Innen

a_{1} \approx 87, 6

a \approx 147, 0

, tehát

b = c_{1} - a_{1} \approx 344

.
II. Pontos számítással a színusz‐tétel alapján

a = 147

m és

b = 343

m adódik.

Kulcsár Gyula (Pannonhalma, Benedek‐rendi g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A megoldások számos különböző úton jutottak eredményre. Sokan használták pl. a Pythagorász‐tételt. Néhány dolgozat közvetlen képletet írt fel

a

és

b

-re, sokkal gyakoribb azonban a számadatok korai beírása, ami azután a számítás áttekinthetőségét csökkenti. Vegyük észre pl., hogy az

α β_{1}

szorzat külön kiszámítása után könnyű az

α (β_{1} + 3)

és

β_{1} (α + 3)

szorzatok kiszámítása, és ez ismétlődik

β_{2} γ_{1}

β_{2} (γ_{1} + 3)

és

γ_{1} (β_{2} + 3)

esetében.
2. Feladatunk ,,az 1151. feladat felhasználásával'' írta elő az oldalak meghatározását. Elvileg pontosabb közelítő értéket kapnánk, ha az ott szereplő közelítő képleten kívül a szög pontos és közelítő értéke közti eltérésre vonatkozó (kb.

10^{\circ}

-os lépésekben megadott) táblázatot is figyelembe vesszük. Pl. egy

40^{\circ}

körüli szög radiánra átszámított mértékszámát

8 \cdot 10^{- 4}

-nel csökkentve lett volna célszerű felhasználni.

¹Lásd 145. o.