Feladat: 1062. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bácsy Zs. ,  Bellay Ágnes ,  Benczúr A. ,  Bollobás B. ,  Csákó Gy. ,  Dömötör Gy. ,  Endreffy Z. ,  Fajszi Cs. ,  Frint G. ,  Fritz J. ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gálfi l. ,  Gallyas Györgyi ,  Gáspár R. ,  Grüner Gy. ,  Hanyi Zs. ,  Horváth K. ,  Huber T. ,  Jójárt I. ,  Juhász I. ,  Katona Éva ,  Kiss Ildikó ,  Knuth E. ,  Kóta Gábor ,  Kóta J. ,  Kovács Imre ,  Krámli A. ,  Kunszt Z. ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Molnár E. ,  Nagy Csaba ,  Náray-Szabó G. ,  Németh I. ,  Nováky B. ,  Opálény M. ,  Pór A. ,  Simonovits M. ,  Sonnevend Gy. ,  Szegő K. ,  Székely J. ,  Szepesvári I. ,  Szőts M. ,  Tóth Vilmos ,  Vesztergombi Gy. ,  Zalán P. 
Füzet: 1961/október, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/október: 1062. matematika feladat

Adjuk meg az előző feladatban kiterjesztett sorozatokra azt a kifejezést, amellyel xk kiszámítható a) xk-1 és xk-2-ből b) xk-2 és xk-4-ből, c) xk-3 és xk-6-ból, továbbá, amellyel yk kiszámítható d) yk-1 és yk-2-ből, e) yk-2 és yk-4-ből, f) yk-3 és yk-6-ból.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A sorozatpár meghatározó képletpárját yk=(xk+1-3xk)/2, xk=(yk+1-3yk)/4 alakban írva látjuk, hogy mindegyik sorozat minden tagja felírható a másik sorozat két tagjából: az 1-gyel nagyobb indexű tagból kivonjuk az ugyanazon indexű tag 3-szorosát és a különbségnek y esetében a felét, x esetében negyedét vesszük. Ezt kétszer alkalmazva minden tag kifejezhető kizárólag az őt tartalmazó sorozatból: a 2-vel és 1-gyel nagyobb indexű taggal és önmagával:

xk=14(yk+1-3yk)=14(xk+2-3xk+12-3xk+1-9xk2)==18(xk+2-6xk+1+9xk),


és innen xk+2=6xk+1-xk illetőleg k+2 helyett k-t (más szóval k helyett k-2-t) írva xk=6xk-1-xk-2. ‐ Hasonlóan
yk=12(yk+2-3yk+14-3yk+1-9yk4)-bólyk=6yk-1-yk-2.

A két eredmény együtthatóinak megegyezése alapján mondhatjuk: mindkét sorozat bármelyik tagja egyenlő a vele szomszédos tagok összegének 6-odrészével: zk=(zk-1+zk+1)/6, ahol mindhárom z betű helyére vagy x, vagy y írandó. ‐ Ezek alapján a további kívánt összefüggéseket hasonlóan összevontan írhatjuk fel:
zk̲=6zk-1-zk-2=6(6zk-2-zk-3)-(6zk-3-zk-4)=36zk-2+zk-4-26zk-3==36zk-2+zk-4-2(zk-4+zk-2)=34zk-2-zk-4̲,


másképpen zk-2=(zk+zk-4)/34. Végül
zk̲=6zk-1-zk-2=6(34zk-3-zk-5)-(6zk-3-zk-4)==198zk-3+(zk-4-6zk-5)=198zk-3-zk-6.



E kifejezések 0 és negatív egész k-val is érvényesek, hiszen az 1061. feladat megjegyzésében láttuk, hogy az összefüggések minden egész k-ra érvényesek. Kifejezéseink természetesen az 1061. feladat (2) összefüggéseiből is levezethetők.
 

II. megoldás Az 1061. feladat (5) összefüggései szerint
xk+r=xryk+yrxkyk+r=yryk+2xrxk.
Írjuk fel ezt r helyén -r-rel és vegyük tekintetbe x-r=-xr, y-r=yr-et:
xk-r=-xryk+yrxkyk-r=yryk-2xrxk.
Ezekből összeadással és rendezéssel
xk+r=2yrxk-xk-r,yk+r=2yryk-yk-r
végül k helyére k-r-et írva
xk=2yrxk-r-xk-2r,yk=2yryk-r-yk-2r.
Ha már most rendre r=1,2,3, akkor yr=3,17,99, és így 3 xk=  6xk-1-xk-2yk=  6yk-1-yk-2;
xk= 34xk-2-xk-4yk= 34yk-2-yk-4;
xk=198xk-3-xk-6yk=198yk-3-yk-6.
 

Kóta Gábor (Tatabánya, Árpád g. IV. o. t.)
 

III. megoldás (vázlat). Feltesszük, hogy van olyan α, β együttható, hogy minden egész k-ra xk=αxk-1+βxk-2. Eszerint α, β csak a k=3 és k=4-gyel adódó
12α+2β=70,70α+12β=408
egyenletrendszer megoldása lehet, vagyis α=6, β=-1. Az így nyert xk=6xk-1-xk-2 összefüggés minden egész indexre érvényes, mert az 1061. feladat (2) képletét k helyén k-2-vel, továbbá (1) képletét k helyén k-1-gyel alkalmazva minden k-ra:
6xk-1-xk-2=6xk-1-(3xk-1-2yk-1)=3xk-1+2yk-1=xk.

Hasonlóan pl. az yk=γyk-2+δyk-4 feltevésből k=2 és k=3-mal γ+17δ=17, 3γ+3δ=99, és így γ=34, δ=-1, és az adódó 34yk-2-yk-4 kifejezés minden k-ra yk-t adja, mert az 1061. feladat (5) képletét k helyén k-2-vel és előbb r=-2-vel, majd r=2-vel alkalmazva, valamint y-2=y2 és x-2=-x2-re tekintettel
34yk-2-yk-4=2y2yk-2-(y-2yk-2+2x-2xk-2)=y2yk-2+2x2xk-2=yk.