Kezdőlap


Feladat:	1062. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bácsy Zs. , Bellay Ágnes , Benczúr A. , Bollobás B. , Csákó Gy. , Dömötör Gy. , Endreffy Z. , Fajszi Cs. , Frint G. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Gallyas Györgyi , Gáspár R. , Grüner Gy. , Hanyi Zs. , Horváth K. , Huber T. , Jójárt I. , Juhász I. , Katona Éva , Kiss Ildikó , Knuth E. , Kóta Gábor , Kóta J. , Kovács Imre , Krámli A. , Kunszt Z. , Máté A. , Máté E. , Molnár E. , Nagy Csaba , Náray-Szabó G. , Németh I. , Nováky B. , Opálény M. , Pór A. , Simonovits M. , Sonnevend Gy. , Szegő K. , Székely J. , Szepesvári I. , Szőts M. , Tóth Vilmos , Vesztergombi Gy. , Zalán P.
Füzet:	1961/október, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 1062. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A sorozatpár meghatározó képletpárját $y_{k} = (x_{k + 1} - 3 x_{k}) / 2$ , $x_{k} = (y_{k + 1} - 3 y_{k}) / 4$ alakban írva látjuk, hogy mindegyik sorozat minden tagja felírható a másik sorozat két tagjából: az 1-gyel nagyobb indexű tagból kivonjuk az ugyanazon indexű tag 3-szorosát és a különbségnek $y$ esetében a felét, $x$ esetében negyedét vesszük. Ezt kétszer alkalmazva minden tag kifejezhető kizárólag az őt tartalmazó sorozatból: a 2-vel és 1-gyel nagyobb indexű taggal és önmagával:

\begin{matrix} x_{k} = \frac{1}{4} (y_{k + 1} - 3 y_{k}) = \frac{1}{4} (\frac{x_{k + 2} - 3 x_{k + 1}}{2} - \frac{3 x_{k + 1} - 9 x_{k}}{2}) = \\ = \frac{1}{8} (x_{k + 2} - 6 x_{k + 1} + 9 x_{k}), \end{matrix}

és innen

x_{k + 2} = 6 x_{k + 1} - x_{k}

illetőleg

k + 2

helyett

k

-t (más szóval

k

helyett

k - 2

-t) írva

x_{k} = 6 x_{k - 1} - x_{k - 2}

. ‐ Hasonlóan

\begin{matrix} y_{k} = \frac{1}{2} (\frac{y_{k + 2} - 3 y_{k + 1}}{4} - \frac{3 y_{k + 1} - 9 y_{k}}{4}) -ból y_{k} = 6 y_{k - 1} - y_{k - 2} . \end{matrix}

A két eredmény együtthatóinak megegyezése alapján mondhatjuk: mindkét sorozat bármelyik tagja egyenlő a vele szomszédos tagok összegének 6-odrészével:

z_{k} = (z_{k - 1} + z_{k + 1}) / 6

, ahol mindhárom

z

betű helyére vagy

x

, vagy

y

írandó. ‐ Ezek alapján a további kívánt összefüggéseket hasonlóan összevontan írhatjuk fel:

\begin{matrix} \underset{̲}{z_{k}} = 6 z_{k - 1} - z_{k - 2} = 6 (6 z_{k - 2} - z_{k - 3}) - (6 z_{k - 3} - z_{k - 4}) = 36 z_{k - 2} + z_{k - 4} - 2 \cdot 6 z_{k - 3} = \\ = 36 z_{k - 2} + z_{k - 4} - 2 (z_{k - 4} + z_{k - 2}) = \underset{̲}{34 z_{k - 2} - z_{k - 4}}, \end{matrix}

másképpen

z_{k - 2} = (z_{k} + z_{k - 4}) / 34

. Végül

\begin{matrix} \underset{̲}{z_{k}} = 6 z_{k - 1} - z_{k - 2} = 6 (34 z_{k - 3} - z_{k - 5}) - (6 z_{k - 3} - z_{k - 4}) = \\ = 198 z_{k - 3} + (z_{k - 4} - 6 z_{k - 5}) = 198 z_{k - 3} - z_{k - 6} . \end{matrix}

E kifejezések 0 és negatív egész

k

-val is érvényesek, hiszen az 1061. feladat megjegyzésében láttuk, hogy az összefüggések minden egész

k

-ra érvényesek. Kifejezéseink természetesen az 1061. feladat (2) összefüggéseiből is levezethetők.

II. megoldás Az 1061. feladat (5) összefüggései szerint

\begin{matrix} x_{k + r} = x_{r} y_{k} + y_{r} x_{k} y_{k + r} = y_{r} y_{k} + 2 x_{r} x_{k} . \end{matrix}

Írjuk fel ezt

r

helyén

- r

-rel és vegyük tekintetbe

x_{- r} = - x_{r}

y_{- r} = y_{r}

-et:

\begin{matrix} x_{k - r} = - x_{r} y_{k} + y_{r} x_{k} y_{k - r} = y_{r} y_{k} - 2 x_{r} x_{k} . \end{matrix}

Ezekből összeadással és rendezéssel

\begin{matrix} x_{k + r} = 2 y_{r} x_{k} - x_{k - r}, y_{k + r} = 2 y_{r} y_{k} - y_{k - r} \end{matrix}

végül

k

helyére

k - r

-et írva

\begin{matrix} x_{k} = 2 y_{r} x_{k - r} - x_{k - 2 r}, y_{k} = 2 y_{r} y_{k - r} - y_{k - 2 r} . \end{matrix}

Ha már most rendre

r = 1, 2, 3,

akkor

y_{r} = 3, 17, 99

, és így 3

x_{k}

= 6

x_{k - 1}

x_{k - 2}

y_{k}

= 6

y_{k - 1}

y_{k - 2}

;

x_{k}

= 34

x_{k - 2}

x_{k - 4}

y_{k}

= 34

y_{k - 2}

y_{k - 4}

;

x_{k}

=198

x_{k - 3}

x_{k - 6}

y_{k}

=198

y_{k - 3}

y_{k - 6}

Kóta Gábor (Tatabánya, Árpád g. IV. o. t.)

III. megoldás (vázlat). Feltesszük, hogy van olyan

α

β

együttható, hogy minden egész

k

-ra

x_{k} = α x_{k - 1} + β x_{k - 2}

. Eszerint

α

β

csak a

k = 3

és

k = 4

-gyel adódó

\begin{matrix} 12 α + 2 β = 70, 70 α + 12 β = 408 \end{matrix}

egyenletrendszer megoldása lehet, vagyis

α = 6

β = - 1

. Az így nyert

x_{k} = 6 x_{k - 1} - x_{k - 2}

összefüggés minden egész indexre érvényes, mert az 1061. feladat (2) képletét

k

helyén

k - 2

-vel, továbbá (1) képletét

k

helyén

k - 1

-gyel alkalmazva minden

k

-ra:

\begin{matrix} 6 x_{k - 1} - x_{k - 2} = 6 x_{k - 1} - (3 x_{k - 1} - 2 y_{k - 1}) = 3 x_{k - 1} + 2 y_{k - 1} = x_{k} . \end{matrix}

Hasonlóan pl. az

y_{k} = γ y_{k - 2} + δ y_{k - 4}

feltevésből

k = 2

és

k = 3

-mal

γ + 17 δ = 17

3 γ + 3 δ = 99

, és így

γ = 34

δ = - 1

, és az adódó

34 y_{k - 2} - y_{k - 4}

kifejezés minden

k

-ra

y_{k}

-t adja, mert az 1061. feladat (5) képletét

k

helyén

k - 2

-vel és előbb

r = - 2

-vel, majd

r = 2

-vel alkalmazva, valamint

y_{- 2} = y_{2}

és

x_{- 2} = - x_{2}

-re tekintettel

\begin{matrix} 34 y_{k - 2} - y_{k - 4} = 2 y_{2} y_{k - 2} - (y_{- 2} y_{k - 2} + 2 x_{- 2} x_{k - 2}) = y_{2} y_{k - 2} + 2 x_{2} x_{k - 2} = y_{k} . \end{matrix}