Feladat: 908. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágh A. ,  Arató P. ,  Bagyinszky J. ,  Bollobás B. ,  Erdődy T. ,  Füle K. ,  Gaál S. ,  Galambos J. ,  Győry K. ,  Hainzmann J. ,  Hajna J. ,  Halász Ákos ,  Halász Gábor ,  Kalász Klára ,  Kisvölcsey J. ,  Kolonits Ferenc ,  Kristóf L. ,  Losonczy L. ,  Majtényi S. ,  Makay A. ,  Máté L. ,  Megyesi L. ,  Meskó A. ,  Mihályffy L. ,  Montvay I. ,  Ortutay M. ,  Papp Éva ,  Pődör B. ,  Pósa L. ,  Pulay P. ,  Sárközy A. ,  Simonfai L. ,  Soós S. ,  Surguta L. ,  Szász D. (III. o.) ,  Szebeni A. ,  Tatai P. ,  Ujsághy G. ,  Újváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1959/február, 53 - 54. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paralelepipedon, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/május: 908. matematika feladat

Egyenlő térfogatú paralelepipedonok közül melyikben legkisebb az egy csúcsban találkozó 3 él négyzetének összege?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott V térfogatú paralelepipedonok közül elég a téglatestekkel foglalkozni, amelyekben az egy csúcsban összefutó három él bármelyike merőleges a másik kettő által meghatározott síkra. Ha ugyanis valamely ABCDEFGH paralelepipedonnak AE éle nem merőleges az A csúcsba befutó további AB, AD élek síkjára, akkor arra az ABCDE'F'G'H' paralelepipedonra áttérve, amelynek E'F'G'H' lapja az EFGH síkban van, és amelyben AE' merőleges ABCD-re, egy az eredetivel térfogatra megegyező, de kisebb él-négyzetösszeget mutató, tehát számunkra kedvezőbb esethez jutottunk, ugyanis AE'<AE és így AB2+AD2+AE'2<AB2+AD2+AE2.
Legyenek most már egy adott V térfogatú téglatestnek egy csúcsába összefutó élei a, b, c, azaz abc=V, és írjuk fel a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az élek négyzeteire:

a2+b2+c23a2b2c213=V213,
ahonnan
a2+b2+c23V213,
vagyis a vizsgált négyzetösszeg nem kisebb az állandó jobboldalnál, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn köztük, ha a tekintett számok egyenlők: a2=b2=c2, azaz ‐ szakaszokról lévén szó ‐ ha a=b=c. Eszerint a kérdéses négyzetösszeg az egyenlőélű téglatestre, más szóval a kockára a legkisebb.
 

Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. III. o. t.)