|
Feladat: |
908. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágh A. , Arató P. , Bagyinszky J. , Bollobás B. , Erdődy T. , Füle K. , Gaál S. , Galambos J. , Győry K. , Hainzmann J. , Hajna J. , Halász Ákos , Halász Gábor , Kalász Klára , Kisvölcsey J. , Kolonits Ferenc , Kristóf L. , Losonczy L. , Majtényi S. , Makay A. , Máté L. , Megyesi L. , Meskó A. , Mihályffy L. , Montvay I. , Ortutay M. , Papp Éva , Pődör B. , Pósa L. , Pulay P. , Sárközy A. , Simonfai L. , Soós S. , Surguta L. , Szász D. (III. o.) , Szebeni A. , Tatai P. , Ujsághy G. , Újváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1959/február,
53 - 54. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Paralelepipedon, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1958/május: 908. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adott térfogatú paralelepipedonok közül elég a téglatestekkel foglalkozni, amelyekben az egy csúcsban összefutó három él bármelyike merőleges a másik kettő által meghatározott síkra. Ha ugyanis valamely paralelepipedonnak éle nem merőleges az csúcsba befutó további , élek síkjára, akkor arra az paralelepipedonra áttérve, amelynek lapja az síkban van, és amelyben merőleges -re, egy az eredetivel térfogatra megegyező, de kisebb él-négyzetösszeget mutató, tehát számunkra kedvezőbb esethez jutottunk, ugyanis és így . Legyenek most már egy adott térfogatú téglatestnek egy csúcsába összefutó élei , , , azaz , és írjuk fel a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az élek négyzeteire: ahonnan vagyis a vizsgált négyzetösszeg nem kisebb az állandó jobboldalnál, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn köztük, ha a tekintett számok egyenlők: , azaz ‐ szakaszokról lévén szó ‐ ha . Eszerint a kérdéses négyzetösszeg az egyenlőélű téglatestre, más szóval a kockára a legkisebb.
Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. III. o. t.) |
|
|