Feladat: 903. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágh A. ,  Arató P. ,  Bartha L. ,  Bollobás B. ,  Füle K. ,  Gaál S. ,  Galambos J. ,  Grallert Ferenc ,  Győry K. ,  Hadik Z. ,  Halász G. ,  Kisvölcsey J. ,  Kolonits F. ,  Kristóf L. ,  Makay A. ,  Mihályffy L. ,  Montvay István ,  Náray Miklós ,  Pál G. ,  Papp Éva ,  Pődör B. ,  S. Nagy Erzsébet ,  Sánta J. ,  Sárközy A. ,  Simon L. ,  Simonfai L. ,  Szász D. ,  Szatmáry G. ,  Tusnády G. ,  Várallyay L. 
Füzet: 1959/január, 23 - 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/április: 903. matematika feladat

Egy tetszőleges tetraéder körülírt gömbjének középpontja O, súlypontja S. Bizonyítandó, hogy az élfelező pontokból a szemközti élekre állított merőleges síkok az OS egyenest az O pontnak S-re vonatkozó T tükörképében metszik. (Az OST egyenes az ortocentrikus tetraéder OSM Euler-egyenesének általánosítása.)*

*(E feladatot illetően lásd a kitűzőnek a tetraéderről szóló cikkét, KML. XVI. 1., 2. szám.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Feladatunk állítása úgy is kimondható, hogy az O pontnak S-re vonatkozó T tükörképe rajta van annak a hat síknak mindegyikén, amelyek egy‐egy él felezőpontján áthaladva a szembenfekvő élre merőlegesen állnak. Az állítást ebben az alakban fogjuk bizonyítani, így ugyanis nincs szükség arra, hogy külön vizsgáljuk azt az esetet, amikor O és S egybeesnek, és így az OS egyenes nincs egyértelműen meghatározva.
Jelöljük az ABCD tetraéder tetszés szerint választott BC, AD szembenfekvő éleinek felezőpontjait F1, ill. F2-vel és az ezeken át AD-re merőlegesen állított síkokat σ1, ill. σ2-vel. Minthogy szerkesztésüknél fogva σ1 és σ2 párhuzamosak, továbbá S felezi a végpontjaival σ1, ill. σ2-re támaszkodó F1F2 szakaszt, azért σ1 tükörképe σ2-nek S-re vonatkozóan. Ámde O rajta van σ2-n, ennélfogva S-re vonatkozó T tükörképe rajta van σ1-en, amit bizonyítani akartunk. Mindez akkor is érvényes, ha σ1 és σ2 egybeesnek. Meggondolásunk bármely szemköztes élpárra alkalmazható, mert a BC, AD élpárnak semmi olyan tulajdonságát nem használtuk ki, ami ne volna meg bármely szemköztes élpárnak (nincs is ilyen a feltevésben, hiszen tetszőleges tetraéderről szól az állítás). Ezzel bizonyításunkat befejeztük.

 

Grallert Ferenc (Miskolc, Földes F. g. III. o. t.)
 

II. megoldás: Az O és T, valamint a fenti F1, F2 pontok paralelogrammát határoznak meg, mert az OF2TF1 négyszög OT és F1F2 átlóinak közös a felezőpontja: S, tehát TF1OF2. Ámde O definíciója folytán OF2 merőleges AD-re, így TF1 is merőleges AD-re, tehát T benne van az F1-en át AD-re merőlegesen állított síkban.
 

Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi I. g. III. o. t.)
 

III. megoldás: Az O és T tükrösségére gondolva tekintsük az egész ABCD tetraédernek az S súlypontra vonatkozó A'B'C'D' tükörképét. Minthogy S közös felezőpontja a három szemközti élpár felezőpontjait összekötő szakasznak, azért A'B'C'D' élfelező pontjai egybeesnek ABCD-éivel pl. (az előző megoldások jelöléseivel) A'D'-nek F'2 felezőpontja egybeesik BC-nek F1 felezőpontjával. És mivel még A'D' párhuzamos AD-vel, azért az F1 en át AD-re merőlegesen álló sík egybeesik az F'2-n át A'D'-re merőlegesen álló síkkal, azaz A'D' felezőmerőleges síkjával, tehát átmegy A'B'C'D' körülírt gömbjének O' középpontján, ami pedig a tükrözés folytán éppen O-nak S-re vonatkozó tükörképe. Evvel az állítást bebizonyítottuk.
 

Montvay István (Bp. XIX. Landler J. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Jelöljük a D csúcsból kifutó DA, DB, DC élek felezőpontjait F2, F3, F4-gyel. Az F2F3F4 háromszög a D középpontra nézve hasonló helyzetű az ABC háromszöggel, ennélfogva az F2, F3, F4-en át a BC, CA, ill. AB élre merőlegesen álló síkok egyben F3F4, F4F2, ill. F2F3-ra is merőlegesek, így az F2F3F4 síkot az F2F3F4 háromszög magasságvonalaiban metszik, egymást pedig abban a tD egyenesben, amely átmegy az F2F3F4 háromszög M1 magasságpontján és merőleges az ABC síkra.
 
 

(Az ábra a tetraédernek az ABC síkon való merőleges vetületét mutatja, erre utalnak a síkon kívüli pontok jelei mellett álló vesszők.) Eszerint T a tD-n van. Az F2F3F4 háromszöget a tetraéder egyik (a D csúcshoz tartozó) középmetszetének nevezve és a középmetszetet mindegyik csúcshoz elkészítve a bebizonyított állítás egy része így is kimondható: a tetraéder középmetszeteinek magasságpontjain át az illető középmetszetek síkjára állított merőlegesek egy ponton mennek át.
Ha ABCD ortocentrikus, akkor F2F3F4D is ortocentrikus, ezért D-ből kiinduló közös magasságvonaluk átmegy az F2F3F4, ill. ABC lap M1, ill. M0 magasságpontján, azaz tD átmegy az M0 ponton. Eszerint T-nek az ABCD tetraéder mindnégy lapján való vetülete az illető lap magasságpontja, tehát T maga azonos a tetraéder magasságpontjával.