Feladat: 821. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bergmann Gy. ,  Borsi L. ,  Elbert Á. ,  Fekete L. ,  Frivaldszky S. ,  Galambos J. ,  Gárdonyi Z. ,  Gáspár J. ,  Gáti Z. ,  Gergely E. ,  Glattfelder Gy. ,  Gyene A. ,  Győry K. ,  Horváth M. ,  Károlyi Gy. ,  Kolonits F. ,  Leipniker P. ,  Makay A. ,  Megyesi L. ,  Móricz F. ,  Papp K. ,  Papp Z. ,  Parlagh Gy. ,  Pásztor Erzsébet ,  Puruczky Éva ,  Pödör B. ,  Répássy Cs. ,  Rockenbauer A. ,  Sárközy A. ,  Schipp F. ,  Schultz Gy. ,  Simon L. ,  Solt Gy. ,  Stahl J. ,  Stark G. ,  Szatmáry Z. ,  Szekér A. ,  Tatár I. ,  Tóth Zsuzsanna ,  Váczy P. ,  Vannay L. ,  Várallyay L. ,  Veress P. ,  Veszely Gy. ,  Wollner R. ,  Zaránd Péter 
Füzet: 1957/december, 149 - 151. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/március: 821. matematika feladat

2α középponti szögű, r sugarú körszeletbe írjunk maximális területű téglalapot.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Három esetet különböztetünk meg:

a)0<α90;b)90<α<135,c)135α180.

a) A betűzést az 1. ábra mutatja.
 
 
1. ábra
 

A körszeletbe írt téglalap területe
T=2x(y-rcosα)=2r2-y2(y-rcosα).
Tekintsük T helyett t=T24 függvényt, melynek nyilván ugyanott van a maximuma:
t=(r-y)(r+y)(y-rcosα)(y-rcosα).
Az első tényezőt m-mel, a másodikat n-nel szorozva, a tényezők összege:
m(r-y)+n(r+y)+(y-rcosα)+(y-rcosα)==(m+n-2cosα)r-(m-n-2)y,


ami független y-tól, ha
m-n-2=0.(1)

A mértani közép tételéből a négy tényezős szorzat akkor a legnagyobb, ha a tényezők egyenlőek, vagyis
m(r-y)=y-rcosαésn(r+y)=y-rcosα.(2)
A (2) alatti egyenletekből fejezzük ki az m, n állandókat, és a kapott értékeket helyettesítsük (1)-be. Így kapjuk, hogy
y-rcosαr-y-y-rcosαr+y-2=0,
vagyis
2y2-yrcosα-r2=0.
Innen (csak a pozitív gyököt véve tekintetbe)
y=rcosα+rcos2α+84=r4(cosα+8+cos2α).(3)
Az ehhez tartozó x érték
x=r2-y2.
(3)-ból
y2=r216(8+2cos2α+2cosα8+cos2α),
és így
r2-y2=r216(8-2cos2α-2cosα8+cos2α)
tehát
x=r2-y2=r48-2cos2α-2cosα8+cos2α

A maximális területű téglalap területe pedig
Tmax=2x(y-rcosα).

Mivel (3)-ból
y-rcosα=-3rcosα+r8+cos2α4=r4(-3cosα+8+cos2α),
azért
Tmax=r28(-3cosα+8+cos2α)8-2cos2α-2cosα8+cos2α.

b) Ha 90<α<135, akkor vannak a körszeletbe beírt olyan téglalapok, amelyeknek mind a négy csúcspontjuk a körszelet körívén van (pl. a 2. ábrában a szaggatott vonallal kihúzott téglalap). Ilyen téglalap területe
 
 
2. ábra
 

T'=2rsinβ2rcosβ=2r2sin2β,(4)
ahol 0<βa-90<45.
T' tehát maximális, ha β=α-90<45, vagyis a maximális területű téglalapot azok közül a téglalapok közül kell keresnünk, amelyeknek egyik oldala a húrra esik. Ez esetben követhető az a)-ban alkalmazott eljárás. Ugyanazokhoz az eredményekhez jutunk, de cosα természetesen mindenütt negatív lesz.
c) Ha 135α180, akkor a körszelet tartalmaz a körbe írható négyzetet, amely mint ismeretes ‐ és (4)-ből is leolvasható ‐ a körbe írható legnagyobb területű téglalap. Ez esetben általában végtelen sok négyzet rajzolható a körszeletbe, kivéve az α=135 határesetet, amikor a húrra mint oldalra rajzolt négyzet az egyetlen megoldás.
 

Puruczky Éva (Makó, József A. g. IV. o. t.)