|
Feladat: |
821. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bergmann Gy. , Borsi L. , Elbert Á. , Fekete L. , Frivaldszky S. , Galambos J. , Gárdonyi Z. , Gáspár J. , Gáti Z. , Gergely E. , Glattfelder Gy. , Gyene A. , Győry K. , Horváth M. , Károlyi Gy. , Kolonits F. , Leipniker P. , Makay A. , Megyesi L. , Móricz F. , Papp K. , Papp Z. , Parlagh Gy. , Pásztor Erzsébet , Puruczky Éva , Pödör B. , Répássy Cs. , Rockenbauer A. , Sárközy A. , Schipp F. , Schultz Gy. , Simon L. , Solt Gy. , Stahl J. , Stark G. , Szatmáry Z. , Szekér A. , Tatár I. , Tóth Zsuzsanna , Váczy P. , Vannay L. , Várallyay L. , Veress P. , Veszely Gy. , Wollner R. , Zaránd Péter |
Füzet: |
1957/december,
149 - 151. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1957/március: 821. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Három esetet különböztetünk meg:
a) A betűzést az 1. ábra mutatja. 1. ábra A körszeletbe írt téglalap területe | | Tekintsük helyett függvényt, melynek nyilván ugyanott van a maximuma: | | Az első tényezőt -mel, a másodikat -nel szorozva, a tényezők összege:
ami független -tól, ha A mértani közép tételéből a négy tényezős szorzat akkor a legnagyobb, ha a tényezők egyenlőek, vagyis | | (2) | A (2) alatti egyenletekből fejezzük ki az , állandókat, és a kapott értékeket helyettesítsük (1)-be. Így kapjuk, hogy | | vagyis Innen (csak a pozitív gyököt véve tekintetbe) | | (3) | Az ehhez tartozó érték (3)-ból | | és így | | tehát | |
A maximális területű téglalap területe pedig Mivel (3)-ból | | azért | |
b) Ha , akkor vannak a körszeletbe beírt olyan téglalapok, amelyeknek mind a négy csúcspontjuk a körszelet körívén van (pl. a 2. ábrában a szaggatott vonallal kihúzott téglalap). Ilyen téglalap területe 2. ábra
| | (4) | ahol . T' tehát maximális, ha , vagyis a maximális területű téglalapot azok közül a téglalapok közül kell keresnünk, amelyeknek egyik oldala a húrra esik. Ez esetben követhető az a)-ban alkalmazott eljárás. Ugyanazokhoz az eredményekhez jutunk, de természetesen mindenütt negatív lesz. c) Ha , akkor a körszelet tartalmaz a körbe írható négyzetet, amely mint ismeretes ‐ és (4)-ből is leolvasható ‐ a körbe írható legnagyobb területű téglalap. Ez esetben általában végtelen sok négyzet rajzolható a körszeletbe, kivéve az határesetet, amikor a húrra mint oldalra rajzolt négyzet az egyetlen megoldás.
Puruczky Éva (Makó, József A. g. IV. o. t.) |
|
|