Feladat: 793. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartók Károly ,  Náray Miklós ,  Wollner Róbert 
Füzet: 1957/május, 144 - 146. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometria, Körülírt kör, Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/december: 793. matematika feladat

Adva van a háromszög kerülete 2s és két szöge: α, β. Határozzuk meg
a) körülírt kör,
b) beírt érintő kör sugarát.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A γ=180-α-β szöget is adottnak tekintjük.
a) A háromszög csúcsaihoz mutató körsugarak a kerületi és középponti szögek összefüggése szerint 2α, 2β, 2γ szöget zárnak be. Meghúzva a keletkezett egyenlő szárú háromszögek szimmetriatengelyét, a kapott derékszögű háromszögekből leolvashatjuk, hogy

a2=rsinα,b2=rsinβ,c2=rsinγ.
E három egyenlőség összeadásával
s=a2+b2+c2=r(sinα+sinβ+sinγ),
ahonnan
r=ssinα+sinβ+sinγ.

b) A beírt ϱ sugarú kör érintési pontjainak távolságát az A, B, C csúcspontoktól (a megfelelő oldalakon mérve) rendre x, y, z-vel jelölve, mivel a kör középpontja a szögfelezők metszéspontja
x=ϱctgα2,y=ϱctgβ2,z=ϱctgγ2.

E három egyenlőség összeadásából (mivel 2x+2y+2z=2s)
x+y+z=s=ϱ(ctg  α2  +  ctg +  β2+  ctgγ2),
ahonnan
ϱ=sctgα2  +  ctg  β2  +  ctgγ2.

Náray Miklós (Bp., VIII., Széchenyi g. II. o. t.)

 

II.megoldás: a) Ismeretes, hogy
cosa2=s(s-a)bc,cosβ2=s(s-b)ac,cosγ2=s(s-c)ab,
tehát ‐ a háromszög területét t-vel jelölve
cosα2cosβ2cosγ2=s3(s-a)(s-b)(s-c)a2b2c2=stabc.
Másrészt sinγ=c2r (lásd az I. megoldást) felhasználásával
t=absinγ2=abc4r
és így
cosα2cosβ2cosγ2=sabcabc4r=s4r,
ahonnan
r=s4cosα2cosβ2cosγ2.

b) Ugyancsak összeszorozva az ismert
tgα2=(s-b)(s-c)s(s-a),tgβ2=(s-a)(s-c)s(s-b),tgγ2=(s-a)(s-b)(s-c)
összefüggéseket, nyerjük ‐ egyszerűsités után ‐, hogy
tgα2tgβ2tgγ2=(s-a)(s-b)(s-e)s3.

A gyökjel alatt s-sel bővítve
tgα2tgβ2tgγ2=ts2=sϱs2=ϱs,
ahonnan
ϱ=stgα2  tg  β2  tg  γ2.  

Bartók Károly (Székesfehérvár, József A. g. IV. o.t.)

 

Megjegyzések: 1. Berkes Jenő: ,,A talpponti háromszögről'' c. cikkében (K. M. L. XII. kötet 3. sz., 1956. márc.) a (XII.) formula szerint (70. old.)
sinα+sinβ+sinγ=K2r=sr,
az (V. 2.) képlet szerint (68. old.)
cosα2cosβ2cosγ2=s4r,
és az (V. 3) képlet (69. old.) szerint
tgα2tgβ2tgγ2=ϱs.

Ezek az eredmények egyeznek az I. megoldás a), illetőleg a II. megoldás két eredményével.
 

Wollner Róbert (Szeged, Radnóti g. IV. o. t.)

 

2. Az I. és II. megoldás a) eredményeinek összevetéséből következik a következő ismert trigonometriai összefüggés:
sinα+sinβ+sinγ=4cosα2cosβ2cosγ2.(α+β+γ=180)

A b) eredmények összehasonlítása pedig az
1ctgα2+ctgβ2+ctgγ2=tgα2tgβ2tgγ2
összefüggéshez vezet, amelyből leolvasható, hogy
ctgα2+ctgβ2+ctgγ2=ctgα2ctgβ2ctgγ2.(α+β+γ=180)

Ha ezt az összefüggést tgα2tgβ2tgγ2-val szorozzuk, nyerjük, hogy
tgβ2tgγ2+tgα2tgγ2tgα2tgβ2=1.(α+β+γ=180)