Kezdőlap


Feladat:	793. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók Károly , Náray Miklós , Wollner Róbert
Füzet:	1957/május, 144 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Körülírt kör, Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 793. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A $γ = 180^{\circ} - α - β$ szöget is adottnak tekintjük.
a) A háromszög csúcsaihoz mutató körsugarak a kerületi és középponti szögek összefüggése szerint $2 α$ , $2 β$ , $2 γ$ szöget zárnak be. Meghúzva a keletkezett egyenlő szárú háromszögek szimmetriatengelyét, a kapott derékszögű háromszögekből leolvashatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{2} = r sin α, \frac{b}{2} = r sin β, \frac{c}{2} = r sin γ . \end{matrix}

E három egyenlőség összeadásával

\begin{matrix} s = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = r (sin α + sin β + sin γ), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} r = \frac{s}{sin α + sin β + sin γ} . \end{matrix}

b) A beírt

ϱ

sugarú kör érintési pontjainak távolságát az

A

B

C

csúcspontoktól (a megfelelő oldalakon mérve) rendre

x

y

z

-vel jelölve, mivel a kör középpontja a szögfelezők metszéspontja

\begin{matrix} x = ϱ ctg \frac{α}{2}, y = ϱ ctg \frac{β}{2}, z = ϱ ctg \frac{γ}{2} . \end{matrix}

E három egyenlőség összeadásából (mivel

2 x + 2 y + 2 z = 2 s

)

\begin{matrix} x + y + z = s = ϱ (ctg\frac{α}{2}+ctg + \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2}), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} ϱ = \frac{s}{ctg\frac{α}{2}+ctg \frac{β}{2} +ctg \frac{γ}{2}} . \end{matrix}

Náray Miklós (Bp., VIII., Széchenyi g. II. o. t.)

II.megoldás:

a)

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} cos \frac{a}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - a)}{b c}}, cos \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - b)}{a c}}, cos \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - c)}{a b}}, \end{matrix}

tehát ‐ a háromszög területét

t

-vel jelölve

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{s^{3} (s - a) (s - b) (s - c)}{a^{2} b^{2} c^{2}}} = \frac{s t}{a b c} . \end{matrix}

Másrészt

sin γ = \frac{c}{2 r}

(lásd az I. megoldást) felhasználásával

\begin{matrix} t = \frac{a b sin γ}{2} = \frac{a b c}{4 r} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} = \frac{s}{a b c} \cdot \frac{a b c}{4 r} = \frac{s}{4 r}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} r = \frac{s}{4 cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2}} . \end{matrix}

b) Ugyancsak összeszorozva az ismert

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}, tg \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}}, tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{(s - c)}} \end{matrix}

összefüggéseket, nyerjük ‐ egyszerűsités után ‐, hogy

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b) (s - e)}{s^{3}}} . \end{matrix}

A gyökjel alatt

s

-sel bővítve

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{t}{s^{2}} = \frac{s ϱ}{s^{2}} = \frac{ϱ}{s}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} ϱ = s \end{matrix}

Bartók Károly (Székesfehérvár, József A. g. IV. o.t.)

Megjegyzések: 1. Berkes Jenő: ,,A talpponti háromszögről'' c. cikkében (K. M. L. XII. kötet 3. sz., 1956. márc.) a (XII.) formula szerint (70. old.)

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ = \frac{K}{2 r} = \frac{s}{r}, \end{matrix}

az (V. 2.) képlet szerint (68. old.)

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} = \frac{s}{4 r}, \end{matrix}

és az (V. 3) képlet (69. old.) szerint

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{ϱ}{s} . \end{matrix}

Ezek az eredmények egyeznek az I. megoldás a), illetőleg a II. megoldás két eredményével.

Wollner Róbert (Szeged, Radnóti g. IV. o. t.)

2. Az I. és II. megoldás a) eredményeinek összevetéséből következik a következő ismert trigonometriai összefüggés:

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ = 4 cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} . (α + β + γ = 180^{\circ}) \end{matrix}

A b) eredmények összehasonlítása pedig az

\begin{matrix} \frac{1}{ctg \frac{α}{2} + ctg \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2}} = tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} \end{matrix}

összefüggéshez vezet, amelyből leolvasható, hogy

\begin{matrix} ctg \frac{α}{2} + ctg \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2} = ctg \frac{α}{2} ctg \frac{β}{2} ctg \frac{γ}{2} . (α + β + γ = 180^{\circ}) \end{matrix}

Ha ezt az összefüggést

tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2}

-val szorozzuk, nyerjük, hogy

\begin{matrix} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} + tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} = 1. (α + β + γ = 180^{\circ}) \end{matrix}