Feladat: C.346 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Pap Gyula 
Füzet: 1994/október, 352. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Prímszámok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/január: C.346

Határozzuk meg azokat a p és q ikerprímszámokat, amelyekre p2-pq+q2 is prím. (A p és q prímszámok ikerprímek, ha |p-q|=2.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehetjük, hogy p a nagyobbik prím, mert p2-pq+q2 szimmetrikus p-re és q-ra.
Legyen p=r+1, q=r-1 (r>1 egész).
Behelyettesítve kapjuk, hogy

(r+1)2-(r+1)(r-1)+(r-1)2=r2+3>3
a feltétel miatt. r2+3 csak akkor lehet prím, ha r nem osztható 3-mal, hiszen q, r és p három egymást követő szám. Egy 3-mal osztható szám csak akkor prím, ha 3-mal egyenlő. Tehát két lehetőség jön szóba: vagy p=3; q=1, vagy p=5; q=3.
Mivel 1 nem prím, azért csak a p=5; q=3 a megoldás, vagy a szimmetria miatt p=3; q=5.
Ez megfelel a feladat követelményének, hiszen
p2-pq+q2=9-15+25=19
ami szintén prím.
Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o. t) dolgozata alapján