Kezdőlap


Feladat:	C.346	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pap Gyula
Füzet:	1994/október, 352. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Prímszámok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: C.346

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehetjük, hogy $p$ a nagyobbik prím, mert $p^{2} - p q + q^{2}$ szimmetrikus $p$ -re és $q$ -ra.
Legyen $p = r + 1$ , $q = r - 1$ ( $r > 1$ egész).
Behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(r + 1)}^{2} - (r + 1) (r - 1) + {(r - 1)}^{2} = r^{2} + 3 > 3 \end{matrix}

a feltétel miatt.

r^{2} + 3

csak akkor lehet prím, ha

r

nem osztható 3-mal, hiszen

q

r

és

p

három egymást követő szám. Egy 3-mal osztható szám csak akkor prím, ha 3-mal egyenlő. Tehát két lehetőség jön szóba: vagy

p = 3

;

q = 1

, vagy

p = 5

;

q = 3

.
Mivel 1 nem prím, azért csak a

p = 5

;

q = 3

a megoldás, vagy a szimmetria miatt

p = 3

;

q = 5

.
Ez megfelel a feladat követelményének, hiszen

\begin{matrix} p^{2} - p q + q^{2} = 9 - 15 + 25 = 19 \end{matrix}

ami szintén prím.

Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o. t) dolgozata alapján