Feladat: C.239 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Váradi Péter 
Füzet: 1993/február, 75 - 76. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai szerkesztések, Kör geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/január: C.239

Legyen P egy kör belső pontja. Szerkesszük meg azokat a húrokat a körben, amelyeknek a P harmadoló pontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Jelöljük a k kör középpontját O-val, sugarát r-rel.
Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az AB húr P pontjára tudjuk, hogy 2AP=PB.
 
 

1. ábra
 

Tekintsük a P középpontú, λ=-12 arányú középpontos hasonlóságot. Ez a B-t az A-ba, k-t pedig egy olyan k' körbe viszi át, amely átmegy az A ponton. Ennek ismeretében szerkesszük meg a k' kört, k kicsinyített képét. A k' és k körök metszéspontja lesz A, amelynek ismeretében a keresett húr megszerkeszthető.
A feladatnak két megoldása van, ha k' két pontban metszi a k kört. Ez akkor teljesül, ha OP>r3. Ha OP=r3, akkor egyetlen megoldás van, ha pedig OP<r3, akkor nincs megoldása a feladatnak.
 
 Váradi Péter (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)
 

II. megoldás. A P pont által megharmadolt AB=h húrt kifejezzük OA=r-rel és OP=p-vel. Ebből egyszerű lehetőséget olvasunk ki PB=2h/3 megszerkesztésére.
 
 

2. ábra
 

Az F húrfelezőpont távolságára két háromszögből Pitagorasz tételével
OF2=p2-(h6)2=r2-(h2)2,
8h236=r2-p2=PC2,
ahol C az OP-re merőleges húr egyik végpontja. Ebből
PB=2h3=PC2=PD,
ahol D a C-n átmenő, OP-vel párhuzamos egyenesen van, és CD=CP.
A PC befogóval bíró egyenlő szárú derékszögű háromszög helyének megválasztásával azt értük el, hogy amikor PB=PD hosszát körzőnyílásba vesszük, föl sem kell emelnünk a körző csúcsát P-ből, rögtön kimetszhető B és B'.