Feladat:	C.239	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Váradi Péter
Füzet:	1993/február, 75 - 76. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai szerkesztések, Kör geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/január: C.239

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük a $k$ kör középpontját $O$-val, sugarát $r$-rel. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az $AB$ húr $P$ pontjára tudjuk, hogy $2AP=PB$.     1. ábra   Tekintsük a $P$ középpontú, $\lambda =-\frac{1}{2}$ arányú középpontos hasonlóságot. Ez a $B$-t az $A$-ba, $k$-t pedig egy olyan $k^{\text{'}}$ körbe viszi át, amely átmegy az $A$ ponton. Ennek ismeretében szerkesszük meg a $k^{\text{'}}$ kört, $k$ kicsinyített képét. A $k^{\text{'}}$ és $k$ körök metszéspontja lesz $A$, amelynek ismeretében a keresett húr megszerkeszthető. A feladatnak két megoldása van, ha $k^{\text{'}}$ két pontban metszi a $k$ kört. Ez akkor teljesül, ha $OP>\frac{r}{3}$. Ha $OP=\frac{r}{3}$, akkor egyetlen megoldás van, ha pedig $OP<\frac{r}{3}$, akkor nincs megoldása a feladatnak.    Váradi Péter (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)   II. megoldás. A $P$ pont által megharmadolt $AB=h$ húrt kifejezzük $OA=r$-rel és $OP=p$-vel. Ebből egyszerű lehetőséget olvasunk ki $PB=2h/3$ megszerkesztésére.     2. ábra   Az $F$ húrfelezőpont távolságára két háromszögből Pitagorasz tételével $\begin{array}{c}{\displaystyle O{F}^2=p^2-{\left(\frac{h}{6}\right)}^2=r^2-{\left(\frac{h}{2}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{8h^2}{36}=r^2-p^2=P{C}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $C$ az $OP$-re merőleges húr egyik végpontja. Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle PB=\frac{2h}{3}=PC\cdot \sqrt[]{2}=PD\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $D$ a $C$-n átmenő, $OP$-vel párhuzamos egyenesen van, és $CD=CP$. A $PC$ befogóval bíró egyenlő szárú derékszögű háromszög helyének megválasztásával azt értük el, hogy amikor $PB=PD$ hosszát körzőnyílásba vesszük, föl sem kell emelnünk a körző csúcsát $P$-ből, rögtön kimetszhető $B$ és $B^{\text{'}}$.