Feladat: 2005. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):  Károlyházy Frigyes 
Füzet: 2006/március, 174 - 176. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb áramkörök, Kölcsönös indukció

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. Egy jó minőségű transzformátor szekunder tekercsének menetszáma háromszorosa a primer tekercsének. Ezt a trafót a 11. ábra szerint hálózati váltóáramú feszültségforrásra kapcsoljuk a következő módon: A primer körbe egymással párhuzamosan iktatunk be öt egyforma, a hálózati feszültségre méretezett izzó közül négyet, az ötödiket a szekunder körbe kötjük. Mi történik a K kapcsoló zárása után?

 

 
11. ábra
 

a) Mindegyik izzó tűrhetően ég.
b) A primer körbeli négy izzó szépen ég, az ötödik legfeljebb pislákol.
c) A szekunder körbeli izzó egy pillanat alatt kiég, utána a primer körbeli izzók sem világítanak, mivel a primer tekercs fojtótekercsként hat.
Melyik a helyes válasz?
 
Megoldás. Ezt a feladatot is többféleképpen lehet megoldani. Eljuthatunk a helyes válaszhoz okoskodással, analógiák felhasználásával, úgy, ahogy például az előző feladat megoldásának bemutatásakor jártunk el. Most más utat választunk: bemutatjuk a lehető legrövidebb utat, ahogy a megoldást megkaphatjuk.
Ismert ‐ szakkönyvekben, példatárakban megtalálható, így az Eötvös-versenyen szabadon felhasználható ‐ a transzformátor helyettesítő kapcsolása, ami a 12. ábrán látható.
 

 
12. ábra
 

Első közelítésben tekintsünk el attól, hogy az izzók ellenállása függ a rajtuk áthaladó áramtól (erre még visszatérünk), és induljunk ki abból, hogy van öt egyforma ellenállásunk. Az eredő a szekunder oldalon R, primer oldalon R/4, a párhuzamos kapcsolás miatt. Mivel a szekunder tekercs menetszáma háromszorosa a primer tekercsének, ezért a helyettesítő kapcsolásban ide R/9 ellenállás kerül (13. ábra).
 

 
13. ábra
 

Egy jó minőségű transzformátor szekunder tekercsének váltóáramú ellenállása sokkal nagyobb, mint az izzó ellenállásának kilenced része, ezért jó közelítésben írhatjuk:
U1:U2=R4:R9,
valamint U1+U2=U és U3=3U2. Ezekből az összefüggésekből következik:
U1=913U,U2=413U,U3=1213U.
A primer tagban egy-egy izzóra jutó teljesítmény:
U12R=81169U2R=0,48U2R,
durván fele annak a teljesítménynek, amellyel a hálózati feszültségen világítanának. A szekunder körben az izzó teljesítménye:
U32R=144169U2R=0,85U2R,
nincs nagyon messze attól a teljesítménytől, amellyel ez az izzó a hálózati feszültségen világítana.
Ha most figyelembe vesszük azt a tényt, hogy alacsonyabb feszültségen (tehát alacsonyabb hőmérsékleten) az izzó ellenállása is kisebb, azt mondhatjuk, hogy a primer ágban levő izzók ténylegesen nagyobb teljesítménnyel világítanak, mint amit most kiszámítottunk.
Bátran állíthatjuk, hogy mindegyik izzó tűrhetően ég, vagyis az a) válasz a helyes.
 
Azok számára, akik járatosak a szinuszos váltóáramú hálózatok komplex számokat felhasználó számításaiban, megmutatjuk a 12. ábrán látható két kapcsolás egyenértékűségét, melyet a megoldásban felhasználtunk. A transzformátor primer és szekunder körére felírhatjuk:
U˜=jωL1I1˜+jωMI2˜,0=jωMI1˜+jωL2I2˜+RI2˜,
ahol I1˜ a primer-, I2˜ a szekunder körben folyó áram komplex alakja, M pedig a két tekercs kölcsönös indukciós együtthatója. A második egyenletből I2˜-t kifejezve és az első egyenletbe helyettesítve, valamint felhasználva a szoros csatolás esetén érvényes M2=L1L2 összefüggést, rendezés után kapjuk:
U˜=jωL1RjωL2+RI1˜=Z˜I1˜.
A helyettesítő kapcsolásban jωL1 és RL1L2 váltóáramú ellenállások párhuzamos eredőjét kell kiszámítanunk:
Z'˜=jωL1RL1L2jωL1+RL1L2=jωL1RjωL2+R=Z˜.
Éppen ez az, amit be akartunk bizonyítani.