Feladat: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 13. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2008/október, 429 - 433. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Légköri nyomás, Egyéb állapotegyenlet
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2008/november: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. A levegő hőmérsékletének magasság szerinti változása, a légköri stabilitás és a légszennyeződés

 
A levegő függőleges mozgása sok légköri folyamatért (például a felhők és egyéb kiválások kialakulásáért és a légszennyeződés szétterjedéséért) felelős. Ha a légkör stabil, akkor a függőleges mozgás nem valósulhat meg; a levegőben lévő szennyeződések összegyűlnek a kibocsátás helye közelében, nem terjednek szét, nem hígulnak fel. Instabil légkör esetén azonban a levegő függőleges mozgása elősegíti a légszennyeződések függőleges szétterjedését. Emiatt a szennyezők koncentrációja nem csak a kibocsátó források erősségétől, hanem a légkör stabilitásától is függ.
A levegő stabilitását a meteorológiában használatos elemi ,,levegőcsomag'' (air parcel) fogalmának a használatával fogjuk meghatározni, összehasonlítva az adiabatikus állapotváltozás közben emelkedő vagy süllyedő elemi levegőcsomag hőmérsékletét a környező levegő hőmérsékletével. Látni fogjuk, hogy sok esetben a légszennyeződést tartalmazó, a felszínről felfelé emelkedő elemi levegőcsomag nyugalmi állapotba jut bizonyos magasságban, amit keveredési magasságnak nevezünk. Minél nagyobb a keveredési magasság, annál alacsonyabb a légszennyezés koncentrációja. Meg fogjuk határozni a keveredési magasságot és a szén-monoxid koncentrációt, amit egy reggeli csúcsforgalmi helyzetben Hanoi belvárosában a motorbiciklik bocsátanak ki egy olyan esetben, amikor 119 m magasság felett hőmérsékinverzió (amikor a levegő hőmérséklete felfelé növekszik) következtében a függőleges keveredés nem folytatódhat.
A levegőt tekintsük kétatomos ideális gáznak, melynek moláris tömege: μ=29 g/mol.
Kvázi-egyensúlyi adiabatikus folyamatban teljesül a pVγ=állandó összefüggés, ahol γ=cpcV a gáz fajhőhányadosa.
A következő adatokat használhatod:
Az egyetemes gázállandó: R=8,31J/(molK).
A légköri nyomás a földfelszínen: p0=101,3 kPa.
Az állandónak tekinthető gravitációs gyorsulás: g=9,81m/s2.
A levegő mólhője állandó nyomáson: cp=72R.
A levegő mólhője állandó térfogaton: cV=52R.
Matematikai útmutatás:
dxA+Bx=1Bd(A+Bx)A+Bx=1Bln(A+Bx).a)

b) A dxdt+Ax=B differenciálegyenlet (ahol A és B állandók) megoldása
x(t)=x1(t)+BA,
ahol x1(t) a dxdt+Ax=0 differenciálegyenlet megoldása.
limx(1+1x)x=e.c)

 
1. A levegő hőmérsékletének magasság szerinti változása.
1.1. Tegyük fel, hogy a légkör hőmérséklete mindenhol azonos, értéke T0. Határozd meg, hogyan függ a légkör p nyomása a z magasságtól!
1.2. Tegyük fel, hogy a légkör hőmérséklete a következő összefüggés szerint változik a magassággal:
T(z)=T(0)-Λz,
ahol Λ egy állandó, amit a légkör hőmérsékletcsökkenési sebességének nevezünk (a függőleges hőmérsékletgradiens: -Λ).
1.2.1. Határozd meg ebben az esetben is, hogyan függ a légkör p nyomása a z magasságtól!
1.2.2. Szabad áramlás (konvekció) következik be, ha a levegő sűrűsége növekszik a magassággal. Milyen Λ értékek esetén valósul meg szabad áramlás?
 
2. Elemi levegőcsomag hőmérsékletének változása függőleges mozgás közben.
Tekintsünk egy elemi levegőcsomagot, ami fel-le mozog a légkörben. Az elemi levegőcsomag számottevő kiterjedésű levegőtömeg, néhány méter nagyságú, amit független termodinamikai egységként kell kezelnünk, azonban mégis olyan kicsiny, hogy a hőmérsékletét azonosnak, homogénnek tekinthetjük. Egy elemi levegőcsomag függőleges mozgását kváziadiabatikus folyamatként tárgyalhatjuk, azaz a környező levegővel való hőcserét elhanyagolhatjuk. Ha a levegőcsomag emelkedik a légkörben, akkor kitágul és lehűl. Következésképpen, ha lefelé mozog, akkor a növekvő külső nyomás összenyomja a levegőt a csomagon belül, és hőmérséklete emelkedni fog.
Ha a levegőcsomag mérete nem nagy, akkor feltehetjük, hogy a levegőcsomag határán és belsejében a nyomás mindenhol ugyanakkora, és megegyezik a p(z) légköri nyomás értékkel, ahol z a csomag középpontjának magassága. A csomag hőmérséklete is a csomag minden pontjában ugyanakkorának tekinthető. Ez a hőmérséklet ‐ amit Tcsomag(z)-vel jelölünk ‐ általában különbözik a környező levegő T(z) hőmérsékletétől. A 2.1., valamint a 2.2. pontokban a T(z) függvényt adottnak tekinthetjük, melynek konkrét formája nem ismert.
2.1. A csomag Tcsomag hőmérsékletének változását a magasság szerint a következő módon adhatjuk meg: dTcsomagdz=-G. Vezess le egy formulát a G kifejezésre!
2.2. Tekintsük azt a különleges légköri állapotot, amikor bármely z magasságban a légkör T hőmérséklete megegyezik az elemi levegőcsomag Tcsomag hőmérsékletével: T(z)=Tcsomag(z). Használjuk ilyenkor a Γ jelölést G helyett, vagyis
Γ=-dTcsomagdz,haT(z)=Tcsomag(z).
Γ neve: száraz adiabatikus csökkenési sebesség.
2.2.1. Határozz meg egy formulát a Γ kifejezésre!
2.2.2. Számítsd ki Γ számszerű értékét!
2.2.3. Add meg ebben az esetben a T(z) légköri hőmérséklet kifejezését a magasság függvényében!
2.3. Tegyük fel, hogy a légkör hőmérséklete a következő összefüggés szerint változik a magassággal: T(z)=T(0)-Λz, ahol Λ egy állandó. Határozd meg az elemi levegő csomag Tcsomag(z) hőmérsékletének függését a z magasságtól!
Add meg a Tcsomag(z) kifejezés közelítő értékét, ha |Λz|T(0) és T(0)Tcsomag.
 
3. A légköri stabilitás.
Ebben a részben feltesszük, hogy T lineárisan változik a magassággal.
3.1. Tekintsünk egy elemi levegőcsomagot, amely kezdetben egyensúlyban van a környező levegővel z0 magasságban, azaz hőmérséklete ugyanolyan T(z0) értékű, mint a környező levegő. Ha a levegőcsomag lassan felfelé vagy lefelé mozog, a következő három eset egyikének teljesülnie kell:
‐ A levegőcsomag visszajut az eredeti z0 magasságba, a levegőcsomag egyensúlya stabil (biztos). A légkört ekkor stabilnak tekinthetjük.
‐ A levegőcsomag folytatja mozgását a megkezdett irányba, a levegőcsomag egyensúlya instabil (bizonytalan). A légkör ilyenkor instabil.
‐ A levegőcsomag megmarad az új helyzetében, a levegőcsomag egyensúlya közömbös (indifferens). A légkört semlegesnek nevezzük.
Milyen feltételnek kell Λ értékére teljesülnie, hogy a légkör stabil, instabil, illetve semleges legyen?
3.2. A levegőcsomag talajon mérhető Tcsomag(0) hőmérséklete legyen magasabb, mint a környező levegő T(0) hőmérséklete. Ilyenkor a felhajtóerő emelni kezdi a levegőcsomagot. Vezess le egy olyan kifejezést, ami megmondja, hogy a levegőcsomag mekkora maximális magasságba emelkedik stabil légkör esetén! A kifejezésben a hőmérsékleteken kívül csak Λ és Γ szerepeljen.
 
4. A keveredési magasság.
4.1. Az 1. táblázat egy meteorológiai léggömb hőmérséklet adatait tartalmazza, amelyeket Hanoiban mértek egy novemberi napon reggel 7:00 órakor. A hőmérséklet magasságtól való függését jó közelítéssel a T(z)=T(0)-Λz formulával lehet leírni, ahol a Λ hőmérsékletcsökkenési sebesség a 0<z<96 m, 96 m<z<119 m, valamint a 119 m<z<215 m szakaszokon más és más konstans.
 
MagasságHőmérséklet[m][C]521,56020,66420,56920,57520,48120,39020,29620,110220,110920,111320,111920,112820,213620,314520,415320,515920,616820,817821,018921,520221,821522,022522,123422,224622,325722,3

 
1. táblázat. A meteorológiai léggömb hőmérséklet adatai, melyeket Hanoiban mértek egy novemberi napon reggel 7:00 órakor
 

Tegyük fel, hogy egy Tcsomag(0)=22C hőmérsékletű levegőcsomag emelkedni kezd a föld felszínéről. Az 1. táblázat adatainak felhasználásával, és a fenti lineáris közelítés használatával számítsd ki a levegőcsomag hőmérsékletét a 96 m-es és a 119 m-es magasságok között!
4.2. Határozd meg a levegőcsomag által elérhető maximális H magasságot, és a levegőcsomag Tcsomag(H) hőmérsékletét!
A H magasságot keveredési magasságnak nevezzük. A föld felszínéről érkező légszennyeződések ebben a rétegben keveredhetnek a légköri levegővel (például szelek, örvények stb. útján), és így a levegőcsomagban a szennyeződések felhígulhatnak.
 
5. Szén-monoxid szennyezés (CO) becslése egy reggeli motorbiciklis csúcsforgalmi órában Hanoiban.
Hanoi belvárosát egy téglalappal közelíthetjük, melynek L és W oldalát az ábra mutatja, egyik oldalán a Vörös folyó dél-nyugati partjával.
 
 

A becslések szerint a reggeli csúcsforgalomban 7-től 8 óráig 8105 motorbicikli van az utakon, melyek mindegyike átlagosan 5 km utat tesz meg, és közben kilométerenként 12 g szén-dioxidot (CO) bocsát ki. A CO szennyeződés mennyiségét időben egyenletes kibocsátásúnak tekinthetjük, a csúcsforgalom alatt állandó M mértékűnek. Ugyanakkor a tiszta észak-keleti szél u sebességgel fúj a Vörös folyóra merőlegesen (azaz merőlegesen a téglalap L oldalára), és ugyanezzel a sebességgel hagyja el a várost, miközben magával viszi a CO-val szennyezett levegő egy részét.
Használjuk a következő durva, közelítő modellt:
A CO gyorsan szétoszlik a keveredési réteg teljes térfogatában Hanoi belvárosa felett, így a t időpillanatban a C(t) CO koncentráció állandónak tekinthető az L, W és H méretekkel jellemezhető téglatest alakú doboz belsejében.
A dobozba befújó szél tiszta, feltehetjük, hogy nem tartalmaz szennyezést, továbbá azt is feltételezhetjük, hogy nem távozik szennyeződés a doboz széllel párhuzamos oldalain át.
7 óra előtt a levegő CO koncentrációja elhanyagolható.

5.1. Határozd meg azt a differenciálegyenletet, ami megadja a C(t) CO koncentráció értékét az idő függvényében!
5.2. Írd le a C(t) CO koncentrációra kapott egyenlet megoldását, azaz add meg a C(t) függvényt!
5.3. Számítsd ki a CO koncentráció 8 órára vonatkozó számszerű értékét!
Adatok: L=15 km, W=8 km, u=1 m/s.