Kezdőlap


Feladat:	2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/október, 429 - 433. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Légköri nyomás, Egyéb állapotegyenlet
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2008/november: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. A levegő hőmérsékletének magasság szerinti változása, a légköri stabilitás és a légszennyeződés

A levegő függőleges mozgása sok légköri folyamatért (például a felhők és egyéb kiválások kialakulásáért és a légszennyeződés szétterjedéséért) felelős. Ha a légkör stabil, akkor a függőleges mozgás nem valósulhat meg; a levegőben lévő szennyeződések összegyűlnek a kibocsátás helye közelében, nem terjednek szét, nem hígulnak fel. Instabil légkör esetén azonban a levegő függőleges mozgása elősegíti a légszennyeződések függőleges szétterjedését. Emiatt a szennyezők koncentrációja nem csak a kibocsátó források erősségétől, hanem a légkör stabilitásától is függ.
A levegő stabilitását a meteorológiában használatos elemi ,,levegőcsomag'' (air parcel) fogalmának a használatával fogjuk meghatározni, összehasonlítva az adiabatikus állapotváltozás közben emelkedő vagy süllyedő elemi levegőcsomag hőmérsékletét a környező levegő hőmérsékletével. Látni fogjuk, hogy sok esetben a légszennyeződést tartalmazó, a felszínről felfelé emelkedő elemi levegőcsomag nyugalmi állapotba jut bizonyos magasságban, amit keveredési magasságnak nevezünk. Minél nagyobb a keveredési magasság, annál alacsonyabb a légszennyezés koncentrációja. Meg fogjuk határozni a keveredési magasságot és a szén-monoxid koncentrációt, amit egy reggeli csúcsforgalmi helyzetben Hanoi belvárosában a motorbiciklik bocsátanak ki egy olyan esetben, amikor 119 m magasság felett hőmérsékinverzió (amikor a levegő hőmérséklete felfelé növekszik) következtében a függőleges keveredés nem folytatódhat.
A levegőt tekintsük kétatomos ideális gáznak, melynek moláris tömege:

μ = 29

g/mol.
Kvázi-egyensúlyi adiabatikus folyamatban teljesül a

p V^{γ} = állandó

összefüggés, ahol

γ = \frac{c_{p}}{c_{V}}

a gáz fajhőhányadosa.
A következő adatokat használhatod:
Az egyetemes gázállandó:

R = 8, 31 J/(mol\cdotK)

.
A légköri nyomás a földfelszínen:

p_{0} = 101, 3

kPa.
Az állandónak tekinthető gravitációs gyorsulás:

g = 9, 81 m/s^{2}

.
A levegő mólhője állandó nyomáson:

c_{p} = \frac{7}{2} R

.
A levegő mólhője állandó térfogaton:

c_{V} = \frac{5}{2} R

.
Matematikai útmutatás:

\begin{matrix} \int \frac{d x}{A + B x} = \frac{1}{B} \int \frac{d (A + B x)}{A + B x} = \frac{1}{B} ln (A + B x) . \end{matrix}

a)

b)

\frac{d x}{d t} + A x = B

differenciálegyenlet (ahol

A

és

B

állandók) megoldása

\begin{matrix} x (t) = x_{1} (t) + \frac{B}{A}, \end{matrix}

ahol

x_{1} (t)

\frac{d x}{d t} + A x = 0

differenciálegyenlet megoldása.

\begin{matrix} {lim}_{x \to \infty}^{} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e . \end{matrix}

c)

1. A levegő hőmérsékletének magasság szerinti változása.
1.1. Tegyük fel, hogy a légkör hőmérséklete mindenhol azonos, értéke

T_{0}

. Határozd meg, hogyan függ a légkör

p

nyomása a

z

magasságtól!
1.2. Tegyük fel, hogy a légkör hőmérséklete a következő összefüggés szerint változik a magassággal:

\begin{matrix} T (z) = T (0) - Λ z, \end{matrix}

ahol

Λ

egy állandó, amit a légkör hőmérsékletcsökkenési sebességének nevezünk (a függőleges hőmérsékletgradiens:

- Λ

).
1.2.1. Határozd meg ebben az esetben is, hogyan függ a légkör

p

nyomása a

z

magasságtól!
1.2.2. Szabad áramlás (konvekció) következik be, ha a levegő sűrűsége növekszik a magassággal. Milyen

Λ

értékek esetén valósul meg szabad áramlás?

2. Elemi levegőcsomag hőmérsékletének változása függőleges mozgás közben.
Tekintsünk egy elemi levegőcsomagot, ami fel-le mozog a légkörben. Az elemi levegőcsomag számottevő kiterjedésű levegőtömeg, néhány méter nagyságú, amit független termodinamikai egységként kell kezelnünk, azonban mégis olyan kicsiny, hogy a hőmérsékletét azonosnak, homogénnek tekinthetjük. Egy elemi levegőcsomag függőleges mozgását kváziadiabatikus folyamatként tárgyalhatjuk, azaz a környező levegővel való hőcserét elhanyagolhatjuk. Ha a levegőcsomag emelkedik a légkörben, akkor kitágul és lehűl. Következésképpen, ha lefelé mozog, akkor a növekvő külső nyomás összenyomja a levegőt a csomagon belül, és hőmérséklete emelkedni fog.
Ha a levegőcsomag mérete nem nagy, akkor feltehetjük, hogy a levegőcsomag határán és belsejében a nyomás mindenhol ugyanakkora, és megegyezik a

p (z)

légköri nyomás értékkel, ahol

z

a csomag középpontjának magassága. A csomag hőmérséklete is a csomag minden pontjában ugyanakkorának tekinthető. Ez a hőmérséklet ‐ amit

T_{csomag} (z)

-vel jelölünk ‐ általában különbözik a környező levegő

T (z)

hőmérsékletétől. A 2.1., valamint a 2.2. pontokban a

T (z)

függvényt adottnak tekinthetjük, melynek konkrét formája nem ismert.
2.1. A csomag

T_{csomag}

hőmérsékletének változását a magasság szerint a következő módon adhatjuk meg:

\frac{d T_{csomag}}{d z} = - G

. Vezess le egy formulát a

G

kifejezésre!
2.2. Tekintsük azt a különleges légköri állapotot, amikor bármely

z

magasságban a légkör

T

hőmérséklete megegyezik az elemi levegőcsomag

T_{csomag}

hőmérsékletével:

T (z) = T_{csomag} (z)

. Használjuk ilyenkor a

Γ

jelölést

G

helyett, vagyis

\begin{matrix} Γ = - \frac{d T_{csomag}}{d z}, ha T (z) = T_{csomag} (z) . \end{matrix}

Γ

neve: száraz adiabatikus csökkenési sebesség.
2.2.1. Határozz meg egy formulát a

Γ

kifejezésre!
2.2.2. Számítsd ki

Γ

számszerű értékét!
2.2.3. Add meg ebben az esetben a

T (z)

légköri hőmérséklet kifejezését a magasság függvényében!
2.3. Tegyük fel, hogy a légkör hőmérséklete a következő összefüggés szerint változik a magassággal:

T (z) = T (0) - Λ z

, ahol

Λ

egy állandó. Határozd meg az elemi levegő csomag

T_{csomag} (z)

hőmérsékletének függését a

z

magasságtól!
Add meg a

T_{csomag} (z)

kifejezés közelítő értékét, ha

| Λ \cdot z | ≪ T (0)

és

T (0) \approx T_{csomag}

3. A légköri stabilitás.
Ebben a részben feltesszük, hogy

T

lineárisan változik a magassággal.
3.1. Tekintsünk egy elemi levegőcsomagot, amely kezdetben egyensúlyban van a környező levegővel

z_{0}

magasságban, azaz hőmérséklete ugyanolyan

T (z_{0})

értékű, mint a környező levegő. Ha a levegőcsomag lassan felfelé vagy lefelé mozog, a következő három eset egyikének teljesülnie kell:
‐ A levegőcsomag visszajut az eredeti

z_{0}

magasságba, a levegőcsomag egyensúlya stabil (biztos). A légkört ekkor stabilnak tekinthetjük.
‐ A levegőcsomag folytatja mozgását a megkezdett irányba, a levegőcsomag egyensúlya instabil (bizonytalan). A légkör ilyenkor instabil.
‐ A levegőcsomag megmarad az új helyzetében, a levegőcsomag egyensúlya közömbös (indifferens). A légkört semlegesnek nevezzük.
Milyen feltételnek kell

Λ

értékére teljesülnie, hogy a légkör stabil, instabil, illetve semleges legyen?
3.2. A levegőcsomag talajon mérhető

T_{csomag} (0)

hőmérséklete legyen magasabb, mint a környező levegő

T (0)

hőmérséklete. Ilyenkor a felhajtóerő emelni kezdi a levegőcsomagot. Vezess le egy olyan kifejezést, ami megmondja, hogy a levegőcsomag mekkora maximális magasságba emelkedik stabil légkör esetén! A kifejezésben a hőmérsékleteken kívül csak

Λ

és

Γ

szerepeljen.

4. A keveredési magasság.
4.1. Az 1. táblázat egy meteorológiai léggömb hőmérséklet adatait tartalmazza, amelyeket Hanoiban mértek egy novemberi napon reggel 7:00 órakor. A hőmérséklet magasságtól való függését jó közelítéssel a

T (z) = T (0) - Λ z

formulával lehet leírni, ahol a

Λ

hőmérsékletcsökkenési sebesség a

0 < z < 96

96 m < z < 119 m

, valamint a

119 m < z < 215 m

szakaszokon más és más konstans.

\begin{matrix} Magasság & Hőmérséklet \\ [m] & [^{\circ}C] \\ 5 & 21,5 \\ 60 & 20,6 \\ 64 & 20,5 \\ 69 & 20,5 \\ 75 & 20,4 \\ 81 & 20,3 \\ 90 & 20,2 \\ 96 & 20,1 \\ 102 & 20,1 \\ 109 & 20,1 \\ 113 & 20,1 \\ 119 & 20,1 \\ 128 & 20,2 \\ 136 & 20,3 \\ 145 & 20,4 \\ 153 & 20,5 \\ 159 & 20,6 \\ 168 & 20,8 \\ 178 & 21,0 \\ 189 & 21,5 \\ 202 & 21,8 \\ 215 & 22,0 \\ 225 & 22,1 \\ 234 & 22,2 \\ 246 & 22,3 \\ 257 & 22,3 \end{matrix}

1. táblázat. A meteorológiai léggömb hőmérséklet adatai, melyeket Hanoiban mértek egy novemberi napon reggel 7:00 órakor

Tegyük fel, hogy egy

T_{csomag} (0) = 22^{\circ}

C hőmérsékletű levegőcsomag emelkedni kezd a föld felszínéről. Az 1. táblázat adatainak felhasználásával, és a fenti lineáris közelítés használatával számítsd ki a levegőcsomag hőmérsékletét a 96 m-es és a 119 m-es magasságok között!
4.2. Határozd meg a levegőcsomag által elérhető maximális

H

magasságot, és a levegőcsomag

T_{csomag} (H)

hőmérsékletét!
A

H

magasságot keveredési magasságnak nevezzük. A föld felszínéről érkező légszennyeződések ebben a rétegben keveredhetnek a légköri levegővel (például szelek, örvények stb. útján), és így a levegőcsomagban a szennyeződések felhígulhatnak.

5. Szén-monoxid szennyezés (CO) becslése egy reggeli motorbiciklis csúcsforgalmi órában Hanoiban.
Hanoi belvárosát egy téglalappal közelíthetjük, melynek

L

és

W

oldalát az ábra mutatja, egyik oldalán a Vörös folyó dél-nyugati partjával.

A becslések szerint a reggeli csúcsforgalomban 7-től 8 óráig

8 \cdot 10^{5}

motorbicikli van az utakon, melyek mindegyike átlagosan 5 km utat tesz meg, és közben kilométerenként 12 g szén-dioxidot (CO) bocsát ki. A CO szennyeződés mennyiségét időben egyenletes kibocsátásúnak tekinthetjük, a csúcsforgalom alatt állandó

M

mértékűnek. Ugyanakkor a tiszta észak-keleti szél

u

sebességgel fúj a Vörös folyóra merőlegesen (azaz merőlegesen a téglalap

L

oldalára), és ugyanezzel a sebességgel hagyja el a várost, miközben magával viszi a CO-val szennyezett levegő egy részét.
Használjuk a következő durva, közelítő modellt:

$•$	A CO gyorsan szétoszlik a keveredési réteg teljes térfogatában Hanoi belvárosa felett, így a $t$ időpillanatban a $C (t)$ CO koncentráció állandónak tekinthető az $L$ , $W$ és $H$ méretekkel jellemezhető téglatest alakú doboz belsejében.

$•$	A dobozba befújó szél tiszta, feltehetjük, hogy nem tartalmaz szennyezést, továbbá azt is feltételezhetjük, hogy nem távozik szennyeződés a doboz széllel párhuzamos oldalain át.

$•$	7 óra előtt a levegő CO koncentrációja elhanyagolható.

5.1. Határozd meg azt a differenciálegyenletet, ami megadja a

C (t)

CO koncentráció értékét az idő függvényében!
5.2. Írd le a

C (t)

CO koncentrációra kapott egyenlet megoldását, azaz add meg a

C (t)

függvényt!
5.3. Számítsd ki a CO koncentráció 8 órára vonatkozó számszerű értékét!
Adatok:

L = 15

km,

W = 8

km,

u = 1

m/s.