Feladat: A.398 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2006/április, 229 - 230. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térelemek és részeik, Algebra - Aritmetika, Nehéz feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott a síkon egy k kör, a körön kívül fekvő egyenes, továbbá a körön egy O pont.
Definiáljuk a k kör pontjain a + kétváltozós műveletet a következőképpen. A kör bármely X, Y pontpárjára jelöljük MXY-nal és az XY egyenes metszéspontját. (Ha X=Y, akkor az XY egyenes az érintő. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor MXY az ideális pontja.) Szerkesszük meg az OMXY egyenes és a kör másik metszéspontját. (Ha OMXY érinti a kört, akkor a másik metszéspont is O.) Ez a pont legyen X+Y.

 
 

Mutassuk meg, hogy a + művelet kiterjeszthető a k kör és az egyenes összes, valamint ideális pontjára úgy, hogy a pontok a + művelettel kommutatív csoportot alkossanak, amelynek egységeleme az O pont, azaz teljesüljenek a következő feltételek:
a) Tetszőleges X, Y, Z-re (X+Y)+Z=X+(Y+Z);
b) Tetszőleges X, Y esetén X+Y=Y+X;
c) Tetszőleges X-re X+O=X;
d) Tetszőleges X-hez létezik olyan Y, amelyre X+Y=O.