Cím: Síkbeli eketromos vezetési problémák II. rész
Szerző(k):  Elek Péter ,  Szász Krisztián 
Füzet: 2019/február, 105 - 112. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Síkbeli elektromos vezetési problémák
II. rész (fizikai alkalmazások)
 


A cikk I. (a múlt havi számunkban megjelent) részében általánosságban tárgyaltuk, hogy miként használhatók fel a sík arány- és szögtartó transzformációi különböző síkbeli áramlási (elektromos vezetési, hővezetési és folyadékáramlási) problémák összekapcsolására, és konkrétan megadtunk néhány ilyen transzformációt (ún. konform leképezést). Most alkalmazzuk ezeket fizikai problémák megoldására. A tárgyalást kiegészítjük még két ‐ bizonyos esetekben nagyon hasznos ‐ eljárás ismertetésével: a szimmetriák figyelembe vételének lehetőségével, illetve a tükrözési módszer alkalmazásával.
 
Végtelen síklap

Vezessünk be egy nagy kiterjedésű, vékony (δ vastagságú és ϱ fajlagos ellenállású), homogén és izotrop síklapba egy O pontban I erősségű áramot. Határozzuk meg két, a síklap felületén lévő pont közötti feszültséget! A forgási szimmetria miatt az O pont körül sugaras áramlási tér alakul ki (5. ábra), azaz ettől a ponttól r távolságra a felületi áramsűrűség
j(r)=I2rπδ,(1)


 

5. ábra
 
hiszen a bevezetett I erősségű áram a 2rπδ felületen keresztül, szimmetrikusan áramlik szét a lapban.
Ahhoz, hogy két tetszőleges pont között meghatározzuk a feszültséget, szükségünk van az (ugyancsak forgásszimmetrikus, emiatt sugaras irányítottságú) elektromos térerősség E(r) nagyságára. A differenciális Ohm-törvény szerint j(r)=E(r)/ϱ, így tehát
E(r)=ϱI2rπδ.
A lemez tetszőleges P pontjának potenciálját a térerősség segítségével adhatjuk meg:
Φ(r)=-r0rE(r)dr=-ϱI2πδr0rdrr=ϱI2πδlnr0r,(2)
ahol r0 egy önkényesen választott Q pont O-tól mért távolsága, r pedig a P pont távolsága az áram bevezetési pontjától. A potenciált a Q pontban nullának választjuk. Ezzel, ha a két pont r1, illetve r2 távolságra van O-tól, a közöttük lévő feszültség:
U1,2=Φ(r2)-Φ(r1)=ϱI2πδlnr1r2.(3)

Ugyanezt az eredményt a cikk I. részében leírt ,,szalag-leképezés'' segítségével is megkaphatjuk. Ha egy 2π széles, δ vastagságú, vezető szalagban összesen I áram folyik1, akkor a szalag széleivel párhuzamos irányú áramsűrűség nagysága mindenhol j0=I/(2πδ), az elektromos térerősség tehát
E=(Ex,0);Ex=ϱj0=Iϱ2πδ.
Ennek megfelelően az elektromos potenciál a szalag x koordinátával rendelkező P pontjában (ha az x0 helyen a potenciált nullának vesszük):
Φ(x)=(x0-x)Ex=(x0-x)Iϱ2πδ.

 

 

6. ábra
 

Alkalmazzunk most egy olyan leképezést, ami a szalagot a végtelen síklapba viszi át (6. ábra). Az r=ex összefüggésnek megfelelően (az ,,új koordináták'' jelölésénél az egyszerűség kedvéért a vesszőket nem írjuk ki) az áram O bevezetési pontjai (x=-) a síklap origójába (r=0), az S kivezetési pontok (x=+) pedig egy ,,végtelen távoli'' körbe mennek át. A potenciál az origótól r=ex távol lévő P pontjában
Φ(r)=(x0-x)ϱI2πδ=ϱI2πδlnr0r
(ahol r0=ex0), két tetszőleges pont közötti feszültség pedig
U1,2=Φ(r2)-Φ(r1)=ϱI2πδlnr1r2,
ahogy ezt már ‐ más módszerrel ‐ korábban megkaptuk.
Tekintsük a 7. ábrán látható, félvégtelen síklapot (végtelen félsíkot), amelybe a szélétől d távol lévő pontnál I erősségű áramot vezetünk, és számítsuk ki az A és B pontok közötti feszültséget. Ebben az esetben az áramsűrűség meghatározásánál figyelembe kell vennünk, hogy a lemez szélén az áramsűrűség-vektornak nem lehet határfelületre merőleges komponense. Ha viszont a félvégtelen síklapot az áramot bevezető elektródával együtt tükrözzük a lap szélére (határvonalára) a 8. ábrán látható módon, a félvégtelen síklap végtelen síklapba vihető át úgy, hogy az áramsűrűség-eloszlás az eredeti lemezben változatlan marad, miközben a határfeltétel is teljesül.
 
 
7. ábra
 

 
 
8. ábra
 

A tükrözés után kapott ,,teljes sík'' elrendezésben mindkét elektróda hatását figyelembe kell vennünk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy először csak az egyik, majd csak a másik elektróda jelenlétét tekintjük, és minden pontban a két eset potenciál- és árameloszlásának összegét, szuperpozícióját vesszük.2 Mivel mindkét elektródán az áram a lemezbe befelé folyik, ezért a potenciálok előjelei azonosak. Tehát a végtelen síklapnál levezetett képlet alapján a feszültség nagysága (abszolút értéke)
UAB=|ϱI2πδlndd+ϱI2πδlnd3d|=ϱI2πδln3.

Érdemes megemlíteni, hogy abban az esetben, ha az áramot a lemez szélén lévő A pontban vezetjük be, akkor nemcsak a feszültséget, hanem az áramsűrűséget is

 

könnyen megadhatjuk. Ilyenkor ugyanis a határvonalra történő tükrözés után egy végtelen síklemezt kapunk, amelybe most 2I áramot vezetünk be az A pontban. Ennél ismerjük, hogy az áramsűrűség sugaras szerkezetű, és mivel a tükrözés során a félvégtelen lemezben az áramsűrűség eloszlása nem változik, ott a 9. ábrán látható árameloszlás alakul ki:
j(r)=2I2rπδ=Irπδ.(4)


 

9. ábra
 

A végtelen síklemez esetéhez hasonlóan a félvégtelen lemez egy tetszőleges pontjának potenciálja
Φ(r)=ϱIπδlnr0r,(5)
és ennek megfelelően két pont közötti potenciálkülönbség
U1,2=ϱIπδlnr1r2.(6)

 
Derékszögű sarok

Határozzuk meg 10. ábrán látható, nagy kiterjedésű fémlemez derékszögű sarkánál lévő C és D pontok közötti feszültséget, ha az A pontba bevezett áramot a B pontban vezetjük el. A feladat tükörelektródákkal történő megoldása megtalálható [1]-ben. Most azonban a transzformációs módszert fogjuk alkalmazni.
A vizsgálandó elrendezés egy legyező-leképezéssel (n=2-szeresére kinyitott legyezővel) átvihető egy végtelen félsíkba (11. ábra), ami tükrözéssel végtelen síklappá transzformálható. A derékszögű hajlat egyik széle,
 


 

10. ábra
 

 

 

11. ábra
 

 

ami az x tengely mentén fekszik, a vele párhuzamos x' tengelybe transzformálódik, de a rajta fekvő C és A pontok az origótól nem d és 2d távolságra, hanem rendre d2 és 4d2 távolságra kerülnek. A másik, y tengely mentén lévő oldal a leképezés után a -x' tengelyre kerül, és a rajta elhelyezkedő D és B pontok az origótól rendre d2 és 4d2 távolságra lesznek. Mivel eredetileg az áram be- és kimeneti pontjai a lemez szélein vannak, ezért a (6) egyenletet kell használnunk. Először csak a bemenő áram hatását vizsgáljuk, majd a kimenő áramét ellentétes előjellel, és a két eset szuperpozíciójával kapjuk meg a végeredményt. A feszültség nagysága:
UCD=|ϱIπδln3d25d2-ϱIπδln5d23d2|=2ϱIπδln53.
Az eredmény megegyezik az [1]-ben meghatározottal.
A φnφ és rrn (n0) általánosított legyező-leképezést felhasználhatjuk π/n szögű sarokkal rendelkező, nagy méretű lemezbe vezetett áramok esetén. Ilyenkor a csúcsos szöglet félvégtelen síkba megy át. Akkor is jól használható a legyező-leképezés, ha egy nagy méretű, de vékony lemezből kialakított kúp palástjába vezetünk áramot, hiszen az áram bevezetési pontjával szemközti alkotó mentén felvágva a kúp palástját és kiterítve azt, egy sík lemezsarkot kapunk. A felvágott palást újonnan keletkezett két határvonalán nem folyhat át áram, éppen úgy, mint ‐ a szimmetria miatt ‐ a felvágatlan kúppalást megfelelő alkotóján sem folyt át áram eredetileg.
 
Félvégtelen szalag

A 12. ábrán látható, x-y síkban elhelyezkedő, d szélességű, félvégtelen szalag A csúcsába I erősségű áramot vezetünk be, a B csúcsából pedig elvezetjük azt. Határozzuk meg, mekkora lesz a feszültség a csúcsoktól d távolságban lévő C és D pontok között!
Tükrözzük először a szalagot az y-tengelyre, hogy félvégtelen helyett a -<x<+ abszcisszákkal jellemzett, mindkét irányban végtelen szalagot kapjunk. Ez együtt jár azzal, hogy az A pontban 2I erősségű áramot vezetünk be, és a B pontból pedig 2I-t vezetünk ki. Ezzel az áramvonal-eloszlás az eredeti szalagban nem változik meg. Célunk az, hogy a szalag pontjai a leképezés után az x'-y' koordinátarendszer y'0 félsíkjában helyezkedjenek el, azaz az egyes pontok koordinátái x'=r'cosφ', y'=r'sinφ' legyenek, ahol r'[0;[ az origótól mért távolság, φ'[0;π] a helyvektor és a pozitív x' tengely által bezárt szög. A tükrözött szalag egyes pontjainak koordinátái a leképezés előtt: x]-;[ és y[0;d].

12. ábra
 
13. ábra
 
 
[htb
A megfelelő leképezés két lépésben valósítható meg. Alkalmazzunk először egy λ=π/d léptékű nyújtást, ekkor a szalag szélessége π-re változik, majd alkalmazzuk a szalag-leképezést!
Az áram be- és kivezetési, illetve a feszültségmérés pontjainak transzformációja:
A:(x=0,y=d)(x=0,y=π)(r=1,φ=π),B:(x=0,y=0)(x=0,y=0)(r=1,φ=0),
C:(x=d,y=d)(x=π,y=π)(r=eπ,φ=π),D:(x=d,y=0)(x=d,y=0)(r=eπ,φ=0).
A leképezés utáni helyzetet a 13. ábra mutatja.

A C és D pontok közötti feszültséget a derékszögű hajlatnál látottak szerint számíthatjuk ki:
UCD=|2ϱIπδlneπ-1eπ+1-2ϱIπδlneπ+1eπ-1|=4ϱIπδlneπ+1eπ-10,08654ϱIπδ.

 
A feladat megoldható tükrözéssel is. Ha a szalagot az x tengellyel párhuzamos oldalaira tükrözzük addig, ameddig az első és a negyedik síknegyedet teljesen le nem fedjük, akkor eljutunk a félvégtelen lemez problémájához (lásd a 14. ábrát). Mivel az elektródákat is tükrözzük, ezért a megfelelő helyeken (végtelen sok különböző pontban) 2I áram folyik be és 2I folyik ki. Ezek alapján (6) felhasználásával megkaphatjuk, hogy a C és D pontok közötti feszültség nagysága

 

14. ábra
 
UCD=|2ϱIπδn=1ln(1+(2n)2)(1+4(n-1)2)(1+(2n-1)2)2|.
A fenti összeg kiszámítása meglehetősen nehéz feladat. A WolframAlpha segítségével közelítőleg 0,173 adódik, amivel a feszültségre az előző (leképezéses) módszerrel kapott eredménnyel egyező kifejezést kapjuk.
 
Egy Eötvös-verseny feladat

A 2016-os Eötvös-verseny 3. feladata egy síkbeli vezetési jelenséggel foglalkozik:
Egy R sugarú, d vastagságú (δR), fajlagos ellenállású fémkorong A pontjába I erősségű áramot vezetünk, B pontjából pedig elvezetjük azt. Mekkora feszültség mérhető a 15. ábrán látható C és D pontok között?3
A fémkorong határának egyenlete síkbeli polárkoordinátákkal kifejezve: r(φ)=2Rcosφ. Alkalmazzunk a korongra egy általánosított legyező-transzformációt n=-1 szögnyújtási faktorral, vagyis legyen
φ'=-φ,r'=1r.
A derékszögű koordináták közötti kapcsolat:
x'=xx2+y2,y'=-yx2+y2.
Ennek megfelelően a lemezt határoló körvonal képe a leképezés után:
x'=r'cosφ'=1r(φ)cosφ12R,y'=r'sinφ'=-1r(φ)sinφ-12Rtgφ.


15. ábra
 
16. ábra
 
 
[htb
Látható, hogy a megadott leképezés a fémkorongot az x'12R félvégtelen síklapba transzformálja (16. ábra), és a transzformációs összefüggésekből a kérdéses pontok koordinátáit is könnyen leolvashatjuk. A versenyfeladat megoldása tehát
UCD=ϱIπδlnBCBD=ϱIπδln2R-12R23R-12R=ϱIπδln9=2ϱIπδln3,
egyezésben a [2]-ben meghatározott eredménnyel.
 
Egy gyakorlófeladat

Befejezésül egy olyan feladatot ismertetünk (megoldás nélkül), amelyen ellenőrizhetik az Olvasók, hogy mennyire értették meg a leírtakat, és önállóan tudják-e alkalmazni a bemutatott leképezési módszereket.
Egy végtelen félsík a határvonalára merőlegesen H magasságú ,,bemetszést'' tartalmaz. (A bemetszés szélessége és a lemez δ vastagsága sokkal kisebb H-nál.) A bemetszéstől nagyon távol a vezető lemezben az egyenes határvonallal párhuzamosan j0 áramsűrűségű áram folyik (17. ábra). Mekkora a lemez anyagának fajlagos ellenállása, ha az A és B pontok között U0 feszültséget mérhetünk?

 

17. ábra
 

Útmutatás: Próbáljuk az elektromos áramlási képet legyező-leképezés(ek) és eltolás egymás utáni alkalmazásával olyan árameloszlásba transzformálni, amelynek Φ(r) potenciálját jól ismerjük!
 
Köszönetnyilvánítás és hivatkozások

Az egyik szerző (E. P.) szeretne köszönetet mondani tanárának, Tófalusi Péternek, valamint Vigh Máténak a cikk megírásában nyújtott segítségükért.
 
Hivatkozások:


[1]Gnädig P., Honyek Gy., Vigh M.: 333+ furfangos feladat fizikából, 315. feladat, Typotex (2017).
[2]Tichy G., Vankó P., Vigh M.: Beszámoló a 2016. évi Eötvös-versenyről, KöMaL (2017/2), 105‐112.

 
Elek PéterSzász KrisztiánDebreceni Ref. Koll.BME Fizikai Intézet,Dóczy Gimn. 12. évf.Budapest  




1Ilyen árameloszlás úgy hozható létre, hogy a nagyon (,,végtelenül'') hosszú szalag elegendően távoli végeinél sok, kicsi, jól vezető, a szalag hosszanti oldaléleire merőleges egyenes mentén elhelyezkedő elektródákra akkora feszültséget kapcsolunk, ami éppen I erősségű áramot eredményez.

2A szuperponálhatóság azért ,,működik'', mert az elektromos vezetést leíró Ohm-törvény lineáris.

3A feladat eredeti szövegét, jelöléseit kicsit megváltoztattuk, hogy a probléma a cikkben leírtakkal könnyebben összehasonlítható legyen.