Kezdőlap


Cím:	Síkbeli eketromos vezetési problémák II. rész
Szerző(k):	Elek Péter , Szász Krisztián
Füzet:	2019/február, 105 - 112. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Síkbeli elektromos vezetési problémák
II. rész (fizikai alkalmazások)

A cikk I. (a múlt havi számunkban megjelent) részében általánosságban tárgyaltuk, hogy miként használhatók fel a sík arány- és szögtartó transzformációi különböző síkbeli áramlási (elektromos vezetési, hővezetési és folyadékáramlási) problémák összekapcsolására, és konkrétan megadtunk néhány ilyen transzformációt (ún. konform leképezést). Most alkalmazzuk ezeket fizikai problémák megoldására. A tárgyalást kiegészítjük még két ‐ bizonyos esetekben nagyon hasznos ‐ eljárás ismertetésével: a szimmetriák figyelembe vételének lehetőségével, illetve a tükrözési módszer alkalmazásával.

Végtelen síklap

Vezessünk be egy nagy kiterjedésű, vékony (

δ

vastagságú és

ϱ

fajlagos ellenállású), homogén és izotrop síklapba egy

O

pontban

I

erősségű áramot. Határozzuk meg két, a síklap felületén lévő pont közötti feszültséget! A forgási szimmetria miatt az

O

pont körül sugaras áramlási tér alakul ki (5. ábra), azaz ettől a ponttól

r

távolságra a felületi áramsűrűség

\begin{matrix} j (r) = \frac{I}{2 r π δ}, \end{matrix}

(1)

5. ábra

hiszen a bevezetett

I

erősségű áram a

2 r π δ

felületen keresztül, szimmetrikusan áramlik szét a lapban.
Ahhoz, hogy két tetszőleges pont között meghatározzuk a feszültséget, szükségünk van az (ugyancsak forgásszimmetrikus, emiatt sugaras irányítottságú) elektromos térerősség

E (r)

nagyságára. A differenciális Ohm-törvény szerint

j (r) = E (r) / ϱ

, így tehát

\begin{matrix} E (r) = \frac{ϱ I}{2 r π δ} . \end{matrix}

A lemez tetszőleges

P

pontjának potenciálját a térerősség segítségével adhatjuk meg:

\begin{matrix} Φ (r) = - \int_{r_{0}}^{r} E (r) d r = - \frac{ϱ I}{2 π δ} \int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{r} = \frac{ϱ I}{2 π δ} ln \frac{r_{0}}{r}, \end{matrix}

(2)

ahol

r_{0}

egy önkényesen választott

Q

pont

O

-tól mért távolsága,

r

pedig a

P

pont távolsága az áram bevezetési pontjától. A potenciált a

Q

pontban nullának választjuk. Ezzel, ha a két pont

r_{1}

, illetve

r_{2}

távolságra van

O

-tól, a közöttük lévő feszültség:

\begin{matrix} U_{1,2} = Φ (r_{2}) - Φ (r_{1}) = \frac{ϱ I}{2 π δ} ln \frac{r_{1}}{r_{2}} . \end{matrix}

(3)

Ugyanezt az eredményt a cikk I. részében leírt ,,szalag-leképezés'' segítségével is megkaphatjuk. Ha egy

2 π

széles,

δ

vastagságú, vezető szalagban összesen

I

áram folyik¹, akkor a szalag széleivel párhuzamos irányú áramsűrűség nagysága mindenhol

j_{0} = I / (2 π δ)

, az elektromos térerősség tehát

\begin{matrix} E = (E_{x},0); E_{x} = ϱ j_{0} = \frac{I ϱ}{2 π δ} . \end{matrix}

Ennek megfelelően az elektromos potenciál a szalag

x

koordinátával rendelkező

P

pontjában (ha az

x_{0}

helyen a potenciált nullának vesszük):

\begin{matrix} Φ (x) = (x_{0} - x) \cdot E_{x} = (x_{0} - x) \frac{I ϱ}{2 π δ} . \end{matrix}

6. ábra

Alkalmazzunk most egy olyan leképezést, ami a szalagot a végtelen síklapba viszi át (6. ábra). Az

r = e^{x}

összefüggésnek megfelelően (az ,,új koordináták'' jelölésénél az egyszerűség kedvéért a vesszőket nem írjuk ki) az áram

O

bevezetési pontjai (

x = - \infty

) a síklap origójába (

r = 0

), az

S

kivezetési pontok (

x = + \infty

) pedig egy ,,végtelen távoli'' körbe mennek át. A potenciál az origótól

r = e^{x}

távol lévő

P

pontjában

\begin{matrix} Φ (r) = (x_{0} - x) \frac{ϱ I}{2 π δ} = \frac{ϱ I}{2 π δ} ln \frac{r_{0}}{r} \end{matrix}

(ahol

r_{0} = e^{x_{0}}

), két tetszőleges pont közötti feszültség pedig

\begin{matrix} U_{1,2} = Φ (r_{2}) - Φ (r_{1}) = \frac{ϱ I}{2 π δ} ln \frac{r_{1}}{r_{2}}, \end{matrix}

ahogy ezt már ‐ más módszerrel ‐ korábban megkaptuk.
Tekintsük a 7. ábrán látható, félvégtelen síklapot (végtelen félsíkot), amelybe a szélétől

d

távol lévő pontnál

I

erősségű áramot vezetünk, és számítsuk ki az

A

és

B

pontok közötti feszültséget. Ebben az esetben az áramsűrűség meghatározásánál figyelembe kell vennünk, hogy a lemez szélén az áramsűrűség-vektornak nem lehet határfelületre merőleges komponense. Ha viszont a félvégtelen síklapot az áramot bevezető elektródával együtt tükrözzük a lap szélére (határvonalára) a 8. ábrán látható módon, a félvégtelen síklap végtelen síklapba vihető át úgy, hogy az áramsűrűség-eloszlás az eredeti lemezben változatlan marad, miközben a határfeltétel is teljesül.

7. ábra

8. ábra

A tükrözés után kapott ,,teljes sík'' elrendezésben mindkét elektróda hatását figyelembe kell vennünk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy először csak az egyik, majd csak a másik elektróda jelenlétét tekintjük, és minden pontban a két eset potenciál- és árameloszlásának összegét, szuperpozícióját vesszük.² Mivel mindkét elektródán az áram a lemezbe befelé folyik, ezért a potenciálok előjelei azonosak. Tehát a végtelen síklapnál levezetett képlet alapján a feszültség nagysága (abszolút értéke)

\begin{matrix} U_{A B} = | \frac{ϱ I}{2 π δ} ln \frac{d}{d} + \frac{ϱ I}{2 π δ} ln \frac{d}{3 d} | = \frac{ϱ I}{2 π δ} ln 3. \end{matrix}

Érdemes megemlíteni, hogy abban az esetben, ha az áramot a lemez szélén lévő

A

pontban vezetjük be, akkor nemcsak a feszültséget, hanem az áramsűrűséget is

könnyen megadhatjuk. Ilyenkor ugyanis a határvonalra történő tükrözés után egy végtelen síklemezt kapunk, amelybe most

2 I

áramot vezetünk be az

A

pontban. Ennél ismerjük, hogy az áramsűrűség sugaras szerkezetű, és mivel a tükrözés során a félvégtelen lemezben az áramsűrűség eloszlása nem változik, ott a 9. ábrán látható árameloszlás alakul ki:

\begin{matrix} j (r) = \frac{2 I}{2 r π δ} = \frac{I}{r π δ} . \end{matrix}

(4)

9. ábra

A végtelen síklemez esetéhez hasonlóan a félvégtelen lemez egy tetszőleges pontjának potenciálja

\begin{matrix} Φ (r) = \frac{ϱ I}{π δ} ln \frac{r_{0}}{r}, \end{matrix}

(5)

és ennek megfelelően két pont közötti potenciálkülönbség

\begin{matrix} U_{1,2} = \frac{ϱ I}{π δ} ln \frac{r_{1}}{r_{2}} . \end{matrix}

(6)

Derékszögű sarok

Határozzuk meg 10. ábrán látható, nagy kiterjedésű fémlemez derékszögű sarkánál lévő

C

és

D

pontok közötti feszültséget, ha az

A

pontba bevezett áramot a

B

pontban vezetjük el. A feladat tükörelektródákkal történő megoldása megtalálható [1]-ben. Most azonban a transzformációs módszert fogjuk alkalmazni.
A vizsgálandó elrendezés egy legyező-leképezéssel (

n = 2

-szeresére kinyitott legyezővel) átvihető egy végtelen félsíkba (11. ábra), ami tükrözéssel végtelen síklappá transzformálható. A derékszögű hajlat egyik széle,

10. ábra

11. ábra

ami az

x

tengely mentén fekszik, a vele párhuzamos

x'

tengelybe transzformálódik, de a rajta fekvő

C

és

A

pontok az origótól nem

d

és

2 d

távolságra, hanem rendre

d^{2}

és

4 d^{2}

távolságra kerülnek. A másik,

y

tengely mentén lévő oldal a leképezés után a

- x'

tengelyre kerül, és a rajta elhelyezkedő

D

és

B

pontok az origótól rendre

d^{2}

és

4 d^{2}

távolságra lesznek. Mivel eredetileg az áram be- és kimeneti pontjai a lemez szélein vannak, ezért a (6) egyenletet kell használnunk. Először csak a bemenő áram hatását vizsgáljuk, majd a kimenő áramét ellentétes előjellel, és a két eset szuperpozíciójával kapjuk meg a végeredményt. A feszültség nagysága:

\begin{matrix} U_{C D} = | \frac{ϱ I}{π δ} ln \frac{3 d^{2}}{5 d^{2}} - \frac{ϱ I}{π δ} ln \frac{5 d^{2}}{3 d^{2}} | = \frac{2 ϱ I}{π δ} ln \frac{5}{3} . \end{matrix}

Az eredmény megegyezik az [1]-ben meghatározottal.
A

φ \to n φ

és

r \to r^{n}

(

n \neq 0

) általánosított legyező-leképezést felhasználhatjuk

π / n

szögű sarokkal rendelkező, nagy méretű lemezbe vezetett áramok esetén. Ilyenkor a csúcsos szöglet félvégtelen síkba megy át. Akkor is jól használható a legyező-leképezés, ha egy nagy méretű, de vékony lemezből kialakított kúp palástjába vezetünk áramot, hiszen az áram bevezetési pontjával szemközti alkotó mentén felvágva a kúp palástját és kiterítve azt, egy sík lemezsarkot kapunk. A felvágott palást újonnan keletkezett két határvonalán nem folyhat át áram, éppen úgy, mint ‐ a szimmetria miatt ‐ a felvágatlan kúppalást megfelelő alkotóján sem folyt át áram eredetileg.

Félvégtelen szalag

A 12. ábrán látható,

x - y

síkban elhelyezkedő,

d

szélességű, félvégtelen szalag

A

csúcsába

I

erősségű áramot vezetünk be, a

B

csúcsából pedig elvezetjük azt. Határozzuk meg, mekkora lesz a feszültség a csúcsoktól

d

távolságban lévő

C

és

D

pontok között!
Tükrözzük először a szalagot az

y

-tengelyre, hogy félvégtelen helyett a

- \infty < x < + \infty

abszcisszákkal jellemzett, mindkét irányban végtelen szalagot kapjunk. Ez együtt jár azzal, hogy az

A

pontban

2 I

erősségű áramot vezetünk be, és a

B

pontból pedig

2 I

-t vezetünk ki. Ezzel az áramvonal-eloszlás az eredeti szalagban nem változik meg. Célunk az, hogy a szalag pontjai a leképezés után az

x' - y'

koordinátarendszer

y' \geq 0

félsíkjában helyezkedjenek el, azaz az egyes pontok koordinátái

x' = r' cos φ'

y' = r' sin φ'

legyenek, ahol

r' \in [0; \infty [

az origótól mért távolság,

φ' \in [0; π]

a helyvektor és a pozitív

x'

tengely által bezárt szög. A tükrözött szalag egyes pontjainak koordinátái a leképezés előtt:

x \in] - \infty; \infty [

és

y \in [0; d]

\begin{matrix} 12. ábra \end{matrix}

\begin{matrix} 13. ábra \end{matrix}

[htb
A megfelelő leképezés két lépésben valósítható meg. Alkalmazzunk először egy

λ = π / d

léptékű nyújtást, ekkor a szalag szélessége

π

-re változik, majd alkalmazzuk a szalag-leképezést!
Az áram be- és kivezetési, illetve a feszültségmérés pontjainak transzformációja:

\begin{matrix} \begin{matrix} A : & (x = 0, y = d) & \Rightarrow & (x = 0, y = π) & \Rightarrow & (r = 1, φ = π), \\ B : & (x = 0, y = 0) & \Rightarrow & (x = 0, y = 0) & \Rightarrow & (r = 1, φ = 0), \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} C : & (x = d, y = d) & \Rightarrow & (x = π, y = π) & \Rightarrow & (r = e^{π}, φ = π), \\ D : & (x = d, y = 0) & \Rightarrow & (x = d, y = 0) & \Rightarrow & (r = e^{π}, φ = 0) . \end{matrix} \end{matrix}

A leképezés utáni helyzetet a 13. ábra mutatja.

A

C

és

D

pontok közötti feszültséget a derékszögű hajlatnál látottak szerint számíthatjuk ki:

\begin{matrix} U_{C D} = | \frac{2 ϱ I}{π δ} ln \frac{e^{π} - 1}{e^{π} + 1} - \frac{2 ϱ I}{π δ} ln \frac{e^{π} + 1}{e^{π} - 1} | = \frac{4 ϱ I}{π δ} ln \frac{e^{π} + 1}{e^{π} - 1} \approx 0, 0865 \cdot \frac{4 ϱ I}{π δ} . \end{matrix}

A feladat megoldható tükrözéssel is. Ha a szalagot az

x

tengellyel párhuzamos oldalaira tükrözzük addig, ameddig az első és a negyedik síknegyedet teljesen le nem fedjük, akkor eljutunk a félvégtelen lemez problémájához (lásd a 14. ábrát). Mivel az elektródákat is tükrözzük, ezért a megfelelő helyeken (végtelen sok különböző pontban)

2 I

áram folyik be és

2 I

folyik ki. Ezek alapján (6) felhasználásával megkaphatjuk, hogy a

C

és

D

pontok közötti feszültség nagysága

14. ábra

\begin{matrix} U_{C D} = | \frac{2 ϱ I}{π δ} \sum_{n = 1}^{\infty} ln \frac{(1 + {(2 n)}^{2}) (1 + 4 {(n - 1)}^{2})}{{(1 + {(2 n - 1)}^{2})}^{2}} | . \end{matrix}

A fenti összeg kiszámítása meglehetősen nehéz feladat. A WolframAlpha segítségével közelítőleg 0,173 adódik, amivel a feszültségre az előző (leképezéses) módszerrel kapott eredménnyel egyező kifejezést kapjuk.

Egy Eötvös-verseny feladat

A 2016-os Eötvös-verseny 3. feladata egy síkbeli vezetési jelenséggel foglalkozik:
Egy

R

sugarú,

d

vastagságú

(δ ≪ R)

, fajlagos ellenállású fémkorong

A

pontjába

I

erősségű áramot vezetünk,

B

pontjából pedig elvezetjük azt. Mekkora feszültség mérhető a 15. ábrán látható

C

és

D

pontok között?³
A fémkorong határának egyenlete síkbeli polárkoordinátákkal kifejezve:

r (φ) = 2 R cos φ .

Alkalmazzunk a korongra egy általánosított legyező-transzformációt

n = - 1

szögnyújtási faktorral, vagyis legyen

\begin{matrix} φ' = - φ, r' = \frac{1}{r} . \end{matrix}

A derékszögű koordináták közötti kapcsolat:

\begin{matrix} x' = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}, y' = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} . \end{matrix}

Ennek megfelelően a lemezt határoló körvonal képe a leképezés után:

\begin{matrix} x' = r' cos φ' = \frac{1}{r (φ)} cos φ \equiv \frac{1}{2 R}, y' = r' sin φ' = - \frac{1}{r (φ)} sin φ \equiv - \frac{1}{2 R} tg φ . \end{matrix}

\begin{matrix} 15. ábra \end{matrix}

\begin{matrix} 16. ábra \end{matrix}

[htb
Látható, hogy a megadott leképezés a fémkorongot az

x' \geq \frac{1}{2 R}

félvégtelen síklapba transzformálja (16. ábra), és a transzformációs összefüggésekből a kérdéses pontok koordinátáit is könnyen leolvashatjuk. A versenyfeladat megoldása tehát

\begin{matrix} U_{C D} = \frac{ϱ I}{π δ} ln \frac{B C}{B D} = \frac{ϱ I}{π δ} ln \frac{\frac{2}{R} - \frac{1}{2 R}}{\frac{2}{3 R} - \frac{1}{2 R}} = \frac{ϱ I}{π δ} ln 9 = \frac{2 ϱ I}{π δ} ln 3, \end{matrix}

egyezésben a [2]-ben meghatározott eredménnyel.

Egy gyakorlófeladat

Befejezésül egy olyan feladatot ismertetünk (megoldás nélkül), amelyen ellenőrizhetik az Olvasók, hogy mennyire értették meg a leírtakat, és önállóan tudják-e alkalmazni a bemutatott leképezési módszereket.
Egy végtelen félsík a határvonalára merőlegesen

H

magasságú ,,bemetszést'' tartalmaz. (A bemetszés szélessége és a lemez

δ

vastagsága sokkal kisebb

H

-nál.) A bemetszéstől nagyon távol a vezető lemezben az egyenes határvonallal párhuzamosan

j_{0}

áramsűrűségű áram folyik (17. ábra). Mekkora a lemez anyagának fajlagos ellenállása, ha az

A

és

B

pontok között

U_{0}

feszültséget mérhetünk?

17. ábra

Útmutatás: Próbáljuk az elektromos áramlási képet legyező-leképezés(ek) és eltolás egymás utáni alkalmazásával olyan árameloszlásba transzformálni, amelynek

Φ (r)

potenciálját jól ismerjük!

Köszönetnyilvánítás és hivatkozások

Az egyik szerző (E. P.) szeretne köszönetet mondani tanárának, Tófalusi Péternek, valamint Vigh Máténak a cikk megírásában nyújtott segítségükért.

Hivatkozások:

[1]	Gnädig P., Honyek Gy., Vigh M.: $333 +$ furfangos feladat fizikából, 315. feladat, Typotex (2017).

[2]	Tichy G., Vankó P., Vigh M.: Beszámoló a 2016. évi Eötvös-versenyről, KöMaL (2017/2), 105‐112.

\begin{matrix} \begin{matrix} Elek Péter & Szász Krisztián \\ Debreceni Ref. Koll. & BME Fizikai Intézet, \\ Dóczy Gimn. 12. évf. & Budapest \end{matrix} \end{matrix}

¹Ilyen árameloszlás úgy hozható létre, hogy a nagyon (,,végtelenül'') hosszú szalag elegendően távoli végeinél sok, kicsi, jól vezető, a szalag hosszanti oldaléleire merőleges egyenes mentén elhelyezkedő elektródákra akkora feszültséget kapcsolunk, ami éppen

I

erősségű áramot eredményez.

²A szuperponálhatóság azért ,,működik'', mert az elektromos vezetést leíró Ohm-törvény lineáris.

³A feladat eredeti szövegét, jelöléseit kicsit megváltoztattuk, hogy a probléma a cikkben leírtakkal könnyebben összehasonlítható legyen.