Cím: Geometriai jegyzet
Szerző(k):  Rebuffel E. 
Füzet: 1894/július, 75 - 76. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Geometriai jegyzet.*)
 
A következőkben az a czélom, hogy elemi bizonyítását adjam a következő nagyon ismert tételnek:
Ha valamely változó hosszúságú AB egyenes A és B végpontjai egy szilárd xOy szög Ox és Oy szárain siklanak oly módon, hogy az OA és OB távolságok az OA×OB=m2 relácziót elégítik ki, az AB M középpontja egy hiperbolát ír le.
Jelelje az I betű az xOy szög felező egyenesének és az AOB háromszög körül írt körnek metszéspontját, I' a kör II' átmérőjének egyik végpontját és S az AB egyenes és az említett szögfelező egyenes metszéspontját.
A kör, melynek középpontja I' és mely az A és B pontokon megy keresztül, az OI egyenest messe az F és F' pontokban. E pontokra nézve
OF2=OF'2=OA×OB=m2
tehát az F és F' pontok szilárdak. Másrészt
OA×OB=OI×OS;
tehát
OF2=OF×F'O=OI×OS
s így tehát
(ISFF')=IF:SF::IF':SF'=-1,
azaz az F és F' pontok az IS távolságot harmonikusan osztják.**)
De ekkor az IM és SM sugarak az F'MF szöget is harmonikusan osztják; s minthogy egymásra merőlegesek az MS az F'MF szöget felezi.
Legyen K az F pont szimmetrikus pontja az MS tengelyre nézve és N az FK és MS metszéspontja; ekkor
MF'-MF=KF'=2ON.
Azt állítom, hogy ON állandó.
Legyenek N,N', és H az F,F', és O projekcziói az MI egyenesre; akkor az (I) alatti egyenlőség, ha a benne foglalt hosszakat egy az AB egyenesre merőleges irányra vetítjük, a következőbe megy át:
(OH+NF)(F'N'-OH)=OH(OH+MI)
és ez, minthogy O az F'F egyenes felező-pontja, a következőre redukálódik;
F'N'+NF=OHMI.

Minthogy az AOB háromszög területe állandó, (az OA×OB=m2 relácziónál fogva), azért
OH×MB=const.=λ.
Az előbbi reláczió tehát a következő alakot ölti:
F'N'+NF=λMIMB
De az MIMB hányados állandó, mert az ABI egyenlő 12xOy-nal.
Ha most a N,N' és F' pontokon keresztül menő kört tekintetbe vesszük, látjuk, hogy:
FNF'N'=OF2-ON2,
mi azt bizonyítja, hogy ON2 állandó.
Tehát az M pont mértani helye hiperbola, melynek gyújtópontjai F és F'.
Rebuffel E.

*)"Journal de Mathématiques Élémentaires" publié par H. Vuiberrt 15-e année 1890-91. p 54.
**) Ugyanis:
IF=OF-OI,SF=OF-OS
IF'=OF'-OI,SF'=OF'-OS
tehát az
IFSF'+IF'SF=0
egyenlőség a következőre vezet:
(OF-OI)(OF'-OS)+(OF'-OI)(OF-OS)=0
miből
OFOF'-OIOF'-OFOS+OIOS+
+OFOF'-OIOF-OF'OS+OIOS=0
Minthogy
OF=FO'=-OF'
azért
OFF'O=OIOS