Cím:	Geometriai jegyzet
Szerző(k):	Rebuffel E.
Füzet:	1894/július, 75 - 76. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Geometriai jegyzet.*)   A következőkben az a czélom, hogy elemi bizonyítását adjam a következő nagyon ismert tételnek: Ha valamely változó hosszúságú $AB$ egyenes $A$ és $B$ végpontjai egy szilárd $xOy$ szög $Ox$ és $Oy$ szárain siklanak oly módon, hogy az $OA$ és $OB$ távolságok az $OA\times OB=m^2$ relácziót elégítik ki, az $AB$ $M$ középpontja egy hiperbolát ír le. Jelelje az $I$ betű az $xOy$ szög felező egyenesének és az $AOB$ háromszög körül írt körnek metszéspontját, $I\text{'}$ a kör $II\text{'}$ átmérőjének egyik végpontját és $S$ az $AB$ egyenes és az említett szögfelező egyenes metszéspontját. A kör, melynek középpontja $I\text{'}$ és mely az $A$ és $B$ pontokon megy keresztül, az $OI$ egyenest messe az $F$ és $F\text{'}$ pontokban. E pontokra nézve $\begin{array}{c}{\displaystyle O{F}^2=OF{\text{'}}^2=OA\times OB=m^2}\end{array}$ tehát az $F$ és $F\text{'}$ pontok szilárdak. Másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle OA\times OB=OI\times OS;}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle O{F}^2=OF\times F\text{'}O=OI\times OS}\end{array}$ s így tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(ISFF\text{'}\right)=IF:SF::IF\text{'}:SF\text{'}=-\mathrm{1,}}\end{array}$ azaz az $F$ és $F\text{'}$ pontok az $IS$ távolságot harmonikusan osztják.**) De ekkor az $IM$ és $SM$ sugarak az $F\text{'}MF$ szöget is harmonikusan osztják; s minthogy egymásra merőlegesek az $MS$ az $F\text{'}MF$ szöget felezi. Legyen $K$ az $F$ pont szimmetrikus pontja az $MS$ tengelyre nézve és $N$ az $FK$ és $MS$ metszéspontja; ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle MF\text{'}-MF=KF\text{'}=2ON\mathrm{.}}\end{array}$ Azt állítom, hogy $ON$ állandó. Legyenek $N\mathrm{,}N\text{'}\mathrm{,}$ és $H$ az $F\mathrm{,}F\text{'}\mathrm{,}$ és $O$ projekcziói az $MI$ egyenesre; akkor az $\left(I\right)$ alatti egyenlőség, ha a benne foglalt hosszakat egy az $AB$ egyenesre merőleges irányra vetítjük, a következőbe megy át: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(OH+NF\right)\left(F\text{'}N\text{'}-OH\right)=OH\left(OH+MI\right)}\end{array}$ és ez, minthogy $O$ az $F\text{'}F$ egyenes felező-pontja, a következőre redukálódik; $\begin{array}{c}{\displaystyle F\text{'}N\text{'}+NF=OH\cdot MI\mathrm{.}}\end{array}$ Minthogy az $AOB$ háromszög területe állandó, (az $OA\times OB=m^2$ relácziónál fogva), azért $\begin{array}{c}{\displaystyle OH\times MB=const\mathrm{.}=\lambda \mathrm{.}}\end{array}$ Az előbbi reláczió tehát a következő alakot ölti: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\text{'}N\text{'}+NF=\lambda \frac{MI}{MB}}\end{array}$ De az ${\displaystyle \frac{MI}{MB}}$ hányados állandó, mert az $ABI$ egyenlő $\frac{1}{2}xOy$-nal. Ha most a $N\mathrm{,}N\text{'}$ és $F\text{'}$ pontokon keresztül menő kört tekintetbe vesszük, látjuk, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle FN\cdot F\text{'}N\text{'}=O{F}^2-O{N}^2\mathrm{,}}\end{array}$ mi azt bizonyítja, hogy $O{N}^2$ állandó. Tehát az $M$ pont mértani helye hiperbola, melynek gyújtópontjai $F$ és $F\text{'}$. Rebuffel E. *)"Journal de Mathématiques Élémentaires" publié par H. Vuiberrt 15-e année 1890-91. p 54. **) Ugyanis: $\begin{array}{c}{\displaystyle IF=OF-OI\mathrm{,}SF=OF-OS}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle IF\text{'}=OF\text{'}-OI\mathrm{,}SF\text{'}=OF\text{'}-OS}\end{array}$ tehát az $\begin{array}{c}{\displaystyle IF\cdot SF\text{'}+IF\text{'}\cdot SF=0}\end{array}$ egyenlőség a következőre vezet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(OF-OI\right)\left(OF\text{'}-OS\right)+\left(OF\text{'}-OI\right)\left(OF-OS\right)=0}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle OF\cdot OF\text{'}-OI\cdot OF\text{'}-OF\cdot OS+OI\cdot OS+}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle +OF\cdot OF\text{'}-OI\cdot OF-OF\text{'}\cdot OS+OI\cdot OS=0}\end{array}$ Minthogy $\begin{array}{c}{\displaystyle OF=FO\text{'}=-OF\text{'}}\end{array}$ azért $\begin{array}{c}{\displaystyle OF\cdot F\text{'}O=OI\cdot OS}\end{array}$