Cím: Egy tantétel a paraboláról
Füzet: 1894/július, 70 - 73. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy tantétel a paraboláról*.

 
Legyenek MT,MT' az M pontból a parabolához vont érintők, melynek gyújtópontja F. Ekkor:
FM2=FTFT'
E relácziót igazolhatjuk az analytikai geometria segélyével, ha koordináta tengelyekül választjuk a parabola szimmetriatengelyét és a csúcsponti érintőt. Az M(x0,y0) pontból a parabolához húzott érintők érintési pontjainak koordinátái meghatározhatók a következő egyenletekből:
y2-2px=0,
yy0-p(x+x0)=0.
Az érintési pontok abscissái tehát a következő egyenlet gyökei:
(p(x+x0))2-2py02x=0

vagy
p2x2+2p(px0-y02)x+p2x02=0
Ha ez egyenlet gyökei x és x', akkor
FT=x+p2,FT'=x'+p2,
és ennek folytán
FTFT'=xx'+p2(x+x')+p24,
vagyis:
FTFT'=x02+p22(y02-px0)p+p24,
mely egyszerűsítve a következő alakot nyeri:
y02+(x0-p2)2;
e kifejezés az FM négyzetét ábrázolja.
A tétel a planimetria segélyével is bebizonyítható.
Húzzuk az MH egyenest, mely párhuzamos a parabola tengelyével s a mely FT'-et H-ban metszi.
Ismeretes, miszerint az FM felezi a TFT' szöget és hogy az FMT és HMT' szögek egyenlők. De minthogy az érintő a T' pontban egyenlő szögeket alkot a tengellyel és az FT' vezérsugárral, a HMT' és MT'H szögek egyenlők; ennélfogva az FMT és FT'M háromszögek szögei rendre egyenlők s így ezen háromszögek hasonlók, miből következik, hogy.
FMFT=FT'FM

vagyis
FTFT'=FM¯2.

Ha tehát egy TFT' szög felező egyenesén választunk egy M pontot, melyre nézve FM az FT és FT' mértani középarányosa, akkor létezik egy parabola, melynek gyújtópontja F és mely érinti az MT egyenest T pontban, és az MT' egyenest T' pontban.
Ha az MF egyenesen egy M' pontot választunk, melyre nézve MF=FM', egy második parabolát fogunk nyerni, melynek gyújtópontja szintén F, s mely az M'T és M'T' egyeneseket a T és T' pontokban érinti.
E két parabola különben megoldását képezi a következő feladatnak:
 

Meghatározandók azon parabolák, melyeknek gyújtópontja F és melyek a T és T' pontokon mennek keresztül.
 

E megjegyzésből könnyen levezethető a következő tétel, melyet Lemoine Emil, az "Intermédiaire des Mathématiciens" szerkesztője állított fel, s mely a következőképpen hangzik:
 

Ha egy ellipszis egy M pontjában, melynek gyújtópontjai F és F', meghúzzuk a normálist s ezen két pontot választunk N-et és N'-et, melyekre nézve
MN¯2=MN'¯2=MFMF'
akkor az ONF' szög=MNF szög és az ON'F'=MN'F.
 

Megjegyzendő, hogy miután:
MN2=MFMF'
és az NN' normális az FMF' szög felező egyenese, a parabolának mely az FN és F'N egyeneseket az F és F' pontokban érinti, gyújtópontja az M pont.
Minthogy továbbá FM+F'M=2a, ez utóbbi parabola vezérvonalának távolsága az ellipszis középpontjától O-tól egyenlő a-val; e vezérvonal érinti tehát az O pontból mint középponttól, az ellipszis nagy-tengelye mint átmérő körül leírt kört.
Lemoine tantételének bizonyítása a következőkben adatik.
 

Nevezzük m és m'-nek az NF és NF' egyenesek auguláris-coefficienseit; (az y=mx+n egyenletből) μ és μ'-nek az NM és NO egyenesekéit.
Hogy igazoljuk az MNF és F'NO szögek egyenlőségét, elegendő kimutatni a következő egyenlőség helyességét:
m-μ1+mμ=μ'-m'1+m'μ',
de ezen egyenlőség egyenértékű a következővel:
m+m'1-mm'=μ+μ'1-μμ',
mely azt fejezi ki, hogy az FNF' és MNO szögeknek közös felező egyenesük van. A normális egyenlete az M(xo,yo) pontban:
x-x0x0a2=y-y0y0b2
Ha feltételezzük, hogy x és y az N pont koordinátái és b' az OM félátmérőnek megfelelő konjugált félátmérő b', akkor:
x02a4+y02b4=b'2a2b2
Tudjuk továbbá, hogy MFMF'=b'2, így tehát az N pont koordinátáit az
x-x0x02a2=y-y0y0b2=εab(ε=±1)
egyenletek szolgáltatják. E koordináták a következők:
x=x0a(a+bε)
y=y0b(a+bε)
Tegyük fel, hogy az ε=+1 az N, az ε=-1 az N' pontot szolgáltatja.
Közvetlenül igazolható, miszerint
x2+y2=(a+bε)2
tehát
ON=(a+b)ésON'=(a-b).
Ezek után:
μ=a2y0b2x0,μ'=ay0bx0,
tehát
μ+μ'1-μμ'=ab(a+b)x0y0b3x02-a3y02
Másrészt:
m+m'1-mm'=2ab(a+b)x0y0(a+b)(b2x02-a2y02)-a-b)a2b2
s így tehát csak azt kell kimutatni, hogy
2(b3x02-a3x02)=(a+b)(b2x02-a2x02)-(a-b)a2b2
mi semminemű nehézségekkel sem jár.
*A "Bulletin de Mathématiques Spéciales" 1894. évi októberi számából.