Kezdőlap


Cím:	Egy tantétel a paraboláról
Füzet:	1894/július, 70 - 73. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy tantétel a paraboláról^{$^{*}$}.

Legyenek

M T, M T'

M

pontból a parabolához vont érintők, melynek gyújtópontja

F

. Ekkor:

\begin{matrix} F M^{2} = F T \cdot F T' \end{matrix}

E relácziót igazolhatjuk az analytikai geometria segélyével, ha koordináta tengelyekül választjuk a parabola szimmetriatengelyét és a csúcsponti érintőt. Az

M (x_{0}, y_{0})

pontból a parabolához húzott érintők érintési pontjainak koordinátái meghatározhatók a következő egyenletekből:

\begin{matrix} y^{2} - 2 p x = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} y y_{0} - p (x + x_{0}) = 0. \end{matrix}

Az érintési pontok abscissái tehát a következő egyenlet gyökei:

\begin{matrix} {(p (x + x_{0}))}^{2} - 2 p y_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} p^{2} x^{2} + 2 p (p x_{0} - y_{0}^{2}) x + p^{2} x_{0}^{2} = 0 \end{matrix}

Ha ez egyenlet gyökei

x

és

x'

, akkor

\begin{matrix} F T = x + \frac{p}{2}, F T' = x' + \frac{p}{2}, \end{matrix}

és ennek folytán

\begin{matrix} F T \cdot F T' = x x' + \frac{p}{2} (x + x') + \frac{p^{2}}{4}, \end{matrix}

vagyis:

\begin{matrix} F T \cdot F T' = x_{0}^{2} + \frac{p}{2} \cdot \frac{2 (y_{0}^{2} - p x_{0})}{p} + \frac{p^{2}}{4}, \end{matrix}

mely egyszerűsítve a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} y_{0}^{2} + {(x_{0} - \frac{p}{2})}^{2}; \end{matrix}

e kifejezés az

F M

négyzetét ábrázolja.
A tétel a planimetria segélyével is bebizonyítható.
Húzzuk az

M H

egyenest, mely párhuzamos a parabola tengelyével s a mely

F T'

-et

H

-ban metszi.
Ismeretes, miszerint az

F M

felezi a

T F T'

szöget és hogy az

F M T

és

H M T'

szögek egyenlők. De minthogy az érintő a

T'

pontban egyenlő szögeket alkot a tengellyel és az

F T'

vezérsugárral, a

H M T'

és

M T' H

szögek egyenlők; ennélfogva az

F M T

és

F T' M

háromszögek szögei rendre egyenlők s így ezen háromszögek hasonlók, miből következik, hogy.

\begin{matrix} \frac{F M}{F T} = \frac{F T'}{F M} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} F T \cdot F T' = {\bar{F M}}^{2} . \end{matrix}

Ha tehát egy

T F T'

szög felező egyenesén választunk egy

M

pontot, melyre nézve

F M

F T

és

F T'

mértani középarányosa, akkor létezik egy parabola, melynek gyújtópontja

F

és mely érinti az

M T

egyenest

T

pontban, és az

M T'

egyenest

T'

pontban.
Ha az

M F

egyenesen egy

M'

pontot választunk, melyre nézve

M F = F M'

, egy második parabolát fogunk nyerni, melynek gyújtópontja szintén

F

, s mely az

M' T

és

M' T'

egyeneseket a

T

és

T'

pontokban érinti.
E két parabola különben megoldását képezi a következő feladatnak:

Meghatározandók azon parabolák, melyeknek gyújtópontja

F

és melyek a

T

és

T'

pontokon mennek keresztül.

E megjegyzésből könnyen levezethető a következő tétel, melyet Lemoine Emil, az "Intermédiaire des Mathématiciens" szerkesztője állított fel, s mely a következőképpen hangzik:

Ha egy ellipszis egy

M

pontjában, melynek gyújtópontjai

F

és

F'

, meghúzzuk a normálist s ezen két pontot választunk

N

-et és

N'

-et, melyekre nézve

\begin{matrix} {\bar{M N}}^{2} = {\bar{M N'}}^{2} = M F \cdot M F' \end{matrix}

akkor az

O N F'

szög=

M N F

szög és az

O N' F' = M N' F .

Megjegyzendő, hogy miután:

\begin{matrix} M N^{2} = M F \cdot M F' \end{matrix}

és az

N N'

normális az

F M F'

szög felező egyenese, a parabolának mely az

F N

és

F' N

egyeneseket az

F

és

F'

pontokban érinti, gyújtópontja az

M

pont.
Minthogy továbbá

F M + F' M = 2 a

, ez utóbbi parabola vezérvonalának távolsága az ellipszis középpontjától

O

-tól egyenlő

a

-val; e vezérvonal érinti tehát az

O

pontból mint középponttól, az ellipszis nagy-tengelye mint átmérő körül leírt kört.
Lemoine tantételének bizonyítása a következőkben adatik.

Nevezzük

m

és

m'

-nek az

N F

és

N F'

egyenesek auguláris-coefficienseit; (az

y = m x + n

egyenletből)

μ

és

μ'

-nek az

N M

és

N O

egyenesekéit.
Hogy igazoljuk az

M N F

és

F' N O

szögek egyenlőségét, elegendő kimutatni a következő egyenlőség helyességét:

\begin{matrix} \frac{m - μ}{1 + m μ} = \frac{μ' - m'}{1 + m' μ'}, \end{matrix}

de ezen egyenlőség egyenértékű a következővel:

\begin{matrix} \frac{m + m'}{1 - m m'} = \frac{μ + μ'}{1 - μ μ'}, \end{matrix}

mely azt fejezi ki, hogy az

F N F'

és

M N O

szögeknek közös felező egyenesük van. A normális egyenlete az

M (x_{o}, y_{o})

pontban:

\begin{matrix} \frac{x - x_{0}}{\frac{x_{0}}{a^{2}}} = \frac{y - y_{0}}{\frac{y_{0}}{b^{2}}} \end{matrix}

Ha feltételezzük, hogy

x

és

y

N

pont koordinátái és

b'

O M

félátmérőnek megfelelő konjugált félátmérő

b'

, akkor:

\begin{matrix} \frac{x_{0}^{2}}{a^{4}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{4}} = \frac{b'^{2}}{a^{2} b^{2}} \end{matrix}

Tudjuk továbbá, hogy

M F \cdot M F' = b'^{2}

, így tehát az

N

pont koordinátáit az

\begin{matrix} \frac{x - x_{0}}{\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}} = \frac{y - y_{0}}{\frac{y_{0}}{b^{2}}} = ε a b (ε = \pm 1) \end{matrix}

egyenletek szolgáltatják. E koordináták a következők:

\begin{matrix} x = \frac{x_{0}}{a} (a + b ε) \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{y_{0}}{b} (a + b ε) \end{matrix}

Tegyük fel, hogy az

ε = + 1

N

, az

ε = - 1

N'

pontot szolgáltatja.
Közvetlenül igazolható, miszerint

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = {(a + b ε)}^{2} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} O N = (a + b) és O N' = (a - b) . \end{matrix}

Ezek után:

\begin{matrix} μ = \frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}}, μ' = \frac{a y_{0}}{b x_{0}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{μ + μ'}{1 - μ μ'} = \frac{a b (a + b) x_{0} y_{0}}{b^{3} x_{0}^{2} - a^{3} y_{0}^{2}} \end{matrix}

Másrészt:

\begin{matrix} \frac{m + m'}{1 - m m'} = \frac{2 a b (a + b) x_{0} y_{0}}{(a + b) (b^{2} x_{0}^{2} - a^{2} y_{0}^{2}) - a - b) a^{2} b^{2}} \end{matrix}

s így tehát csak azt kell kimutatni, hogy

\begin{matrix} 2 (b^{3} x_{0}^{2} - a^{3} x_{0}^{2}) = (a + b) (b^{2} x_{0}^{2} - a^{2} x_{0}^{2}) - (a - b) a^{2} b^{2} \end{matrix}

mi semminemű nehézségekkel sem jár.

^{$^{*}$}A "Bulletin de Mathématiques Spéciales" 1894. évi októberi számából.