Cím: Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):  Fridrik Richárd 
Füzet: 2018/szeptember, 334 - 336. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. rész
 

 
1. Egy szabályos n-szög alapú egyenes hasáb lapátlóinak száma, testátlóinak száma és a 24 valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják. Határozzuk meg n lehetséges értékeit.  (11 pont)
 
2. Tekintsük a következő állításokat.
A: Két irracionális szám összege mindig irracionális.
B: Van olyan számsorozat, amely korlátos, nem monoton és nem konvergens.
C: Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan tartalmaz kört.
a) Döntsük el, hogy igazak vagy hamisak az állítások. Válaszainkat indokoljuk.
  (8 pont)
b) Fogalmazzuk meg a C állítás megfordítását. Döntsük el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása. Válaszunkat indokoljuk.  (4 pont)
 
3. Egy négyszög két szomszédos oldalának hossza 3, illetve 4 cm, közbezárt szögük 60. A négyszög húr- és érintőnégyszög is egyben.
a) Mekkora a négyszög másik két oldala?  (7 pont)
b) Számítsuk ki a négyszög beírt és köré írt körének sugarát.  (7 pont)
(Válaszainkat cm-ben, két tizedesjegyre kerekítve adjuk meg.)
 
4. a) Mutassuk meg, hogy az f(x)=2x-12x+1 függvény páratlan és korlátos függvény.  (7 pont)
b) Egy gömb alakú higanycsepp n egyforma, kisebb cseppre esett szét. Ezáltal a kis cseppek összfelszíne éppen négyszerese lett az eredeti higanycsepp felszínének. Határozzuk meg n értékét.  (7 pont)
 
II. rész

 
5. a) Cinkelt érmét szeretnénk készíteni. A ,,Trükkös hatos'' nevű játékban akkor nyerünk, ha az érme hatszori feldobásakor pontosan négyszer lesz fej és kétszer írás. Milyen módon cinkeljük az érmét (vagyis mekkora legyen a fej dobásának a valószínűsége), ha a lehető legnagyobb valószínűséggel szeretnénk nyerni?  (8 pont)
b) Legfeljebb hány különböző pozitív prímszám adható meg úgy, hogy közülük bármely három összege is prímszám legyen?
Adjunk példát a maximális elemszámra és mutassuk meg, hogy több prímszámot nem tudunk megadni a kívánt módon.  (8 pont)
 
6. a) Egy családban három gyerek van: Anna, Béla és Csaba. Minden nap kisorsolják, hogy ki vigye le sétáltatni kutyájukat, Buksit (egy kalapba teszik egy-egy cédulára írva a nevüket, majd húznak egy cédulát).
Hány olyan sorsolás van, amelynél egy hetes időszakot véve, minden gyerek sorra kerül a kutyasétáltatás során?  (9 pont)
b) Igazoljuk (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy ha n9 pozitív egész szám, akkor 2n>32n.  (7 pont)
 
7. a) Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:  (8 pont)
tgxsin4x=12.
b) Adjuk meg azokat a t pozitív egész számokat, amelyekre a fenti egyenletnek a [2018;t] intervallumon pontosan 2018 darab valós megoldása van.
Számításaink során a π minél pontosabb értékével számoljunk.  (8 pont)
 
8. Húzzunk érintőket az y=x2 parabola A(-1;1) és B(2;4) pontjaiba.
a) Írjuk fel az érintők egyenletét.  (3 pont)
b) Mutassuk meg, hogy az érintők a C(12;-2) pontban metszik egymást.  (2 pont)
A parabola két részre osztja az ABC háromszöget, egy konvexre és egy konkávra.
c) Számítsuk ki az ABC háromszög területét.  (5 pont)
d) Határozzuk meg a konvex és a konkáv alakzat területét.  (6 pont)
 
9. A Bástya SE sakkcsapata nemrég indult először a nemzeti csapatbajnokságban. Egy találkozón 2 csapat küzd meg egymással, mindkét csapat 12 játékossal játszik. Ennek a 12 játékosnak van egy előre rögzített erősségi sorrendje és az egyik csapat legerősebbje játszik a másik csapat legerősebbjével, a második legerősebbek is egymással, stb. Így egy találkozón 12 partira kerül sor. Egy partinak 3 kimenetele lehet: győzelem esetén 1, vereség esetén 0, míg döntetlen esetén fél pontot kap a játékos. Tegyük fel, hogy egy-egy parti kimenetele nem függ a játékosok sakktudásától, mindegyik kimenetel egyformán valószínű. A csapat által elért pontszámot úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az egyes csapaton belüli játékosok által elért pontokat.
a) Mutassuk meg, hogy csak úgy lehet döntetlen (azaz amikor 6 pontot ér el mindkét csapat) egy találkozó, ha egy csapaton belül ugyanannyiszor nyernek és veszítenek.  (2 pont)
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ‐ a fenti feltételek mellett ‐ a Bástya SE döntetlent ér el első mérkőzésén?  (7 pont)
c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első három találkozójuk döntetlen lesz és a negyedik meccset megnyerik? Az egyes találkozókon elért eredményeket egymástól függetleneknek tekinthetjük.
Válaszainkat négy tizedesjegyre kerekítve adjuk meg.  (2 pont)
A csapat legjobb pontszerzője 9 partit játszott az idény folyamán. Az általa szerzett pontok átlaga 23, míg a szórásnégyzete 16.
d) Határozzuk meg, hogy a játékos hány partiban nyert, vesztett illetve ért el döntetlent.  (5 pont)