Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Fridrik Richárd
Füzet:	2018/szeptember, 334 - 336. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Egy szabályos $n$-szög alapú egyenes hasáb lapátlóinak száma, testátlóinak száma és a 24 valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják. Határozzuk meg $n$ lehetséges értékeit.  (11 pont)   2. Tekintsük a következő állításokat. $A$: Két irracionális szám összege mindig irracionális. $B$: Van olyan számsorozat, amely korlátos, nem monoton és nem konvergens. $C$: Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan tartalmaz kört. $a)$ Döntsük el, hogy igazak vagy hamisak az állítások. Válaszainkat indokoljuk.   (8 pont) $b)$ Fogalmazzuk meg a $C$ állítás megfordítását. Döntsük el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása. Válaszunkat indokoljuk.  (4 pont)   3. Egy négyszög két szomszédos oldalának hossza 3, illetve 4 cm, közbezárt szögük ${60}^{\circ }$. A négyszög húr- és érintőnégyszög is egyben. $a)$ Mekkora a négyszög másik két oldala?  (7 pont) $b)$ Számítsuk ki a négyszög beírt és köré írt körének sugarát.  (7 pont) (Válaszainkat cm-ben, két tizedesjegyre kerekítve adjuk meg.)   4. $a)$ Mutassuk meg, hogy az $f\left(x\right)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$ függvény páratlan és korlátos függvény.  (7 pont) $b)$ Egy gömb alakú higanycsepp $n$ egyforma, kisebb cseppre esett szét. Ezáltal a kis cseppek összfelszíne éppen négyszerese lett az eredeti higanycsepp felszínének. Határozzuk meg $n$ értékét.  (7 pont)   II. rész   5. $a)$ Cinkelt érmét szeretnénk készíteni. A ,,Trükkös hatos'' nevű játékban akkor nyerünk, ha az érme hatszori feldobásakor pontosan négyszer lesz fej és kétszer írás. Milyen módon cinkeljük az érmét (vagyis mekkora legyen a fej dobásának a valószínűsége), ha a lehető legnagyobb valószínűséggel szeretnénk nyerni?  (8 pont) $b)$ Legfeljebb hány különböző pozitív prímszám adható meg úgy, hogy közülük bármely három összege is prímszám legyen? Adjunk példát a maximális elemszámra és mutassuk meg, hogy több prímszámot nem tudunk megadni a kívánt módon.  (8 pont)   6. $a)$ Egy családban három gyerek van: Anna, Béla és Csaba. Minden nap kisorsolják, hogy ki vigye le sétáltatni kutyájukat, Buksit (egy kalapba teszik egy-egy cédulára írva a nevüket, majd húznak egy cédulát). Hány olyan sorsolás van, amelynél egy hetes időszakot véve, minden gyerek sorra kerül a kutyasétáltatás során?  (9 pont) $b)$ Igazoljuk (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy ha $n\ge 9$ pozitív egész szám, akkor $2^n>32n$.  (7 pont)   7. $a)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:  (8 pont) $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}x\cdot \text{sin}4x=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Adjuk meg azokat a $t$ pozitív egész számokat, amelyekre a fenti egyenletnek a $\left[2018;t\right]$ intervallumon pontosan 2018 darab valós megoldása van. Számításaink során a $\pi$ minél pontosabb értékével számoljunk.  (8 pont)   8. Húzzunk érintőket az $y=x^2$ parabola $A\left(-1;1\right)$ és $B\left(2;4\right)$ pontjaiba. $a)$ Írjuk fel az érintők egyenletét.  (3 pont) $b)$ Mutassuk meg, hogy az érintők a $C(\frac{1}{2};-2)$ pontban metszik egymást.  (2 pont) A parabola két részre osztja az $ABC$ háromszöget, egy konvexre és egy konkávra. $c)$ Számítsuk ki az $ABC$ háromszög területét.  (5 pont) $d)$ Határozzuk meg a konvex és a konkáv alakzat területét.  (6 pont)   9. A Bástya SE sakkcsapata nemrég indult először a nemzeti csapatbajnokságban. Egy találkozón 2 csapat küzd meg egymással, mindkét csapat 12 játékossal játszik. Ennek a 12 játékosnak van egy előre rögzített erősségi sorrendje és az egyik csapat legerősebbje játszik a másik csapat legerősebbjével, a második legerősebbek is egymással, stb. Így egy találkozón 12 partira kerül sor. Egy partinak 3 kimenetele lehet: győzelem esetén 1, vereség esetén 0, míg döntetlen esetén fél pontot kap a játékos. Tegyük fel, hogy egy-egy parti kimenetele nem függ a játékosok sakktudásától, mindegyik kimenetel egyformán valószínű. A csapat által elért pontszámot úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az egyes csapaton belüli játékosok által elért pontokat. $a)$ Mutassuk meg, hogy csak úgy lehet döntetlen (azaz amikor 6 pontot ér el mindkét csapat) egy találkozó, ha egy csapaton belül ugyanannyiszor nyernek és veszítenek.  (2 pont) $b)$ Mennyi annak a valószínűsége, hogy ‐ a fenti feltételek mellett ‐ a Bástya SE döntetlent ér el első mérkőzésén?  (7 pont) $c)$ Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első három találkozójuk döntetlen lesz és a negyedik meccset megnyerik? Az egyes találkozókon elért eredményeket egymástól függetleneknek tekinthetjük. Válaszainkat négy tizedesjegyre kerekítve adjuk meg.  (2 pont) A csapat legjobb pontszerzője 9 partit játszott az idény folyamán. Az általa szerzett pontok átlaga $\frac{2}{3}$, míg a szórásnégyzete $\frac{1}{6}$. $d)$ Határozzuk meg, hogy a játékos hány partiban nyert, vesztett illetve ért el döntetlent.  (5 pont)