Cím: Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):  Koncz Levente 
Füzet: 2017/szeptember, 328 - 330. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. rész
 

 
1. a) Egy gyorsvonat két város közötti útját a menetrend szerint 80 km/h átlagsebességgel szokta megtenni. A vonat azonban egyik nap ‐ pályafelújítási munkák miatt ‐ az útja első egyharmadán csak 40 km/h átlagsebességet ért el. Az út második kétharmad részét a menetrend szerint előírt 80 km/h átlagsebességgel tette meg. Az út befejező egyharmad részén ‐ hogy csökkentse a késést ‐ gyorsított, így ezt a szakaszt 100 km/h átlagsebességgel tette meg. A célállomásra így is 12 perc késéssel érkezett. Hány km a távolság a két város között?
b) Egy vasúti jegy árát először p százalékkal felemelték, majd később 2p százalékkal csökkentették. Így a jegy eredeti árához képest végül 19,5 százalékkal olcsóbb lett. Határozzuk meg p értékét.  (13 pont)
 
2. a) Határozzuk meg az (x+1)2(2+cx)4 kifejezésben c értékét, ha a műveletek elvégzésével nyert polinomban az elsőfokú tag együtthatója -64.
b) Határozzuk meg az A, B és C kijelentések lehetséges logikai értékeit, ha tudjuk, hogy az (A^B)(¬BC) állítás logikai értéke hamis.  (13 pont)
 
3. a) Három teljes gráf közül az elsőnek 5-tel kevesebb, a másodiknak 6-tal több pontja van, mint a harmadiknak. A két kisebb pontszámú gráfnak együtt összesen annyi éle van, mint a legnagyobb pontszámúnak. Határozzuk meg a három teljes gráf pontjainak számát.
b) Egy gráfban cseresznyének nevezzük a két egymáshoz csatlakozó élből álló részgráfot. Igazoljuk, hogy egy hétpontú teljes gráfban a cseresznyék száma megegyezik a négypontú körök számával.  (13 pont)
 
4. Egy nyolc valós számból álló adatsor öt eleme ismert: 5; 5,5; 10; 12,5 és 15,5. A maradék három elem elveszett, de tudjuk, hogy legalább az egyik egész szám, és a három elem közül kettő egyforma volt. Azt is tudjuk, hogy a teljes adatsor átlaga 10,5, szórása pedig 3,5 volt. Határozzuk meg a hiányzó három elem értékét.  (12 pont)
 

II. rész
 

 
5. a) Egy háromszög egyik oldala 7 cm hosszú, az egyik ezen fekvő szög 18 fokos, az oldallal szemközti szög pedig 108 fokos. Határozzuk meg a háromszög területét és a háromszögbe írható kör sugarát.
b) Egy vízszintes terepen álló torony talppontját megközelíteni nem tudjuk. A torony magasságára árnyékának hosszából szeretnénk következtetni, de a torony megközelíthetetlensége miatt az árnyék pontos hosszát sem tudjuk megmérni.
Ezért megjelöljük a torony árnyékának végpontját akkor, amikor a Nap sugarai 75-os szögben érik a talajt. Néhány órával később, amikor a Nap sugarai már csak 60-os szögben érik a talajt, a torony árnyékát ennél 8 méterrel hosszabbnak találjuk.
Milyen magas a torony?  (16 pont)
 
6. Öt osztálytárs: Anna, Balázs, Cili, Dénes és Elemér négynapos közös nyaralásra mennek. Mind a négy napon sorsolással választják ki maguk közül azt az egy embert, akinek aznap reggel be kell vásárolnia (egy-egy emberre akár többször is sor kerülhet).
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a négy napon más-más ember megy bevásárolni?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a négy napon ugyanannak az embernek kell bevásárolnia?
c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Annát a négy nap alatt legalább kétszer kisorsolják?
d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nyaralás során két ember intézi mind a négy bevásárlást (mindkettőre legalább egyszer sor kerül)?  (16 pont)
 
7. a) Határozzuk meg az an=4n-1n sorozat legnagyobb alsó és legkisebb felső korlátját.
b) Egy számtani sorozat első 11 tagjának összege 660. A sorozat első tagja, hatodik tagja, és első nyolc tagjának összege (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat három egymást követő tagját adja. Határozzuk meg a számtani sorozat első tagját és differenciáját.  (16 pont)
 
8. a) Határozzuk meg n értékét úgy, hogy az alábbi egyenlőség teljesüljön:
2n2x+5dx=1710n-2x-3x2dx.

b) Mekkora területű síkidomot vág ki az f(x)=4(x+1)2-1 függvény grafikonja az első síknegyedből?
c) Írjuk fel az f grafikonjához az 1 abszcisszájú pontjában húzott érintőegyenes egyenletét.  (16 pont)
 
9. Egy villanymozdony áramszedőjét két ponton rögzítették a mozdony tetejéhez, ezek távolsága 0,6 méter. Az áramszedő négy, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból áll. A két rövidebb szakasz 0,5 méter, a két hosszabb szakasz 1 méter hosszú (lásd az ábrát). Az áramszedő egyes szakaszai a mozdony tetejéhez és egymáshoz képest csuklósan szabadon elmozdulhatnak. Jelölje h(α) az áramszedő legmagasabb pontjának magasságát a mozdony tetejéhez képest akkor, amikor mindkét rövidebb ág α szöget zár be a mozdony tetejének síkjával.

 
 

a) Igazoljuk, hogy h(α)=1-(0,3+0,5cosα)2+0,5sinα.
b) Milyen magasan lesz az áramszedő legmagasabb pontja α=25 esetén?
c) Mekkora α szög esetén lesz az áramszedő legmagasabb pontja éppen 1 méter magasságban?  (16 pont)