Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Koncz Levente
Füzet:	2017/szeptember, 328 - 330. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Egy gyorsvonat két város közötti útját a menetrend szerint 80 km/h átlagsebességgel szokta megtenni. A vonat azonban egyik nap ‐ pályafelújítási munkák miatt ‐ az útja első egyharmadán csak 40 km/h átlagsebességet ért el. Az út második kétharmad részét a menetrend szerint előírt 80 km/h átlagsebességgel tette meg. Az út befejező egyharmad részén ‐ hogy csökkentse a késést ‐ gyorsított, így ezt a szakaszt 100 km/h átlagsebességgel tette meg. A célállomásra így is 12 perc késéssel érkezett. Hány km a távolság a két város között? $b)$ Egy vasúti jegy árát először $p$ százalékkal felemelték, majd később $2p$ százalékkal csökkentették. Így a jegy eredeti árához képest végül 19,5 százalékkal olcsóbb lett. Határozzuk meg $p$ értékét.  (13 pont)   2. $a)$ Határozzuk meg az ${\left(x+1\right)}^2{\left(2+cx\right)}^4$ kifejezésben $c$ értékét, ha a műveletek elvégzésével nyert polinomban az elsőfokú tag együtthatója $-64$. $b)$ Határozzuk meg az $A$, $B$ és $C$ kijelentések lehetséges logikai értékeit, ha tudjuk, hogy az ($A^B)\to \left(\neg B\vee C\right)$ állítás logikai értéke hamis.  (13 pont)   3. $a)$ Három teljes gráf közül az elsőnek 5-tel kevesebb, a másodiknak 6-tal több pontja van, mint a harmadiknak. A két kisebb pontszámú gráfnak együtt összesen annyi éle van, mint a legnagyobb pontszámúnak. Határozzuk meg a három teljes gráf pontjainak számát. $b)$ Egy gráfban cseresznyének nevezzük a két egymáshoz csatlakozó élből álló részgráfot. Igazoljuk, hogy egy hétpontú teljes gráfban a cseresznyék száma megegyezik a négypontú körök számával.  (13 pont)   4. Egy nyolc valós számból álló adatsor öt eleme ismert: 5; 5,5; 10; 12,5 és 15,5. A maradék három elem elveszett, de tudjuk, hogy legalább az egyik egész szám, és a három elem közül kettő egyforma volt. Azt is tudjuk, hogy a teljes adatsor átlaga 10,5, szórása pedig 3,5 volt. Határozzuk meg a hiányzó három elem értékét.  (12 pont)   II. rész     5. $a)$ Egy háromszög egyik oldala 7 cm hosszú, az egyik ezen fekvő szög 18 fokos, az oldallal szemközti szög pedig 108 fokos. Határozzuk meg a háromszög területét és a háromszögbe írható kör sugarát. $b)$ Egy vízszintes terepen álló torony talppontját megközelíteni nem tudjuk. A torony magasságára árnyékának hosszából szeretnénk következtetni, de a torony megközelíthetetlensége miatt az árnyék pontos hosszát sem tudjuk megmérni. Ezért megjelöljük a torony árnyékának végpontját akkor, amikor a Nap sugarai ${75}^{\circ }$-os szögben érik a talajt. Néhány órával később, amikor a Nap sugarai már csak ${60}^{\circ }$-os szögben érik a talajt, a torony árnyékát ennél 8 méterrel hosszabbnak találjuk. Milyen magas a torony?  (16 pont)   6. Öt osztálytárs: Anna, Balázs, Cili, Dénes és Elemér négynapos közös nyaralásra mennek. Mind a négy napon sorsolással választják ki maguk közül azt az egy embert, akinek aznap reggel be kell vásárolnia (egy-egy emberre akár többször is sor kerülhet). $a)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a négy napon más-más ember megy bevásárolni? $b)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a négy napon ugyanannak az embernek kell bevásárolnia? $c)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy Annát a négy nap alatt legalább kétszer kisorsolják? $d)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nyaralás során két ember intézi mind a négy bevásárlást (mindkettőre legalább egyszer sor kerül)?  (16 pont)   7. $a)$ Határozzuk meg az $a_n=\frac{4n-1}{n}$ sorozat legnagyobb alsó és legkisebb felső korlátját. $b)$ Egy számtani sorozat első 11 tagjának összege 660. A sorozat első tagja, hatodik tagja, és első nyolc tagjának összege (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat három egymást követő tagját adja. Határozzuk meg a számtani sorozat első tagját és differenciáját.  (16 pont)   8. $a)$ Határozzuk meg $n$ értékét úgy, hogy az alábbi egyenlőség teljesüljön: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{2}{\overset{n}{\int }}2x+5\text{d}x=\underset{1}{\overset{7}{\int }}10n-2x-3x^2\text{d}x\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Mekkora területű síkidomot vág ki az $f\left(x\right)=\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}-1$ függvény grafikonja az első síknegyedből? $c)$ Írjuk fel az $f$ grafikonjához az 1 abszcisszájú pontjában húzott érintőegyenes egyenletét.  (16 pont)   9. Egy villanymozdony áramszedőjét két ponton rögzítették a mozdony tetejéhez, ezek távolsága 0,6 méter. Az áramszedő négy, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból áll. A két rövidebb szakasz 0,5 méter, a két hosszabb szakasz 1 méter hosszú (lásd az ábrát). Az áramszedő egyes szakaszai a mozdony tetejéhez és egymáshoz képest csuklósan szabadon elmozdulhatnak. Jelölje $h\left(\alpha \right)$ az áramszedő legmagasabb pontjának magasságát a mozdony tetejéhez képest akkor, amikor mindkét rövidebb ág $\alpha$ szöget zár be a mozdony tetejének síkjával.     $a)$ Igazoljuk, hogy $h\left(\alpha \right)=\sqrt[]{1-{\left(0\mathrm{,}3+0\mathrm{,}5\text{cos}\alpha \right)}^2}+0\mathrm{,}5\text{sin}\alpha$. $b)$ Milyen magasan lesz az áramszedő legmagasabb pontja $\alpha ={25}^{\circ }$ esetén? $c)$ Mekkora $\alpha$ szög esetén lesz az áramszedő legmagasabb pontja éppen 1 méter magasságban?  (16 pont)