Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2014/november, 471 - 472. oldal  PDF file

1
I. rész
 
1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre
(x2+5)2=25-|y-3|21x+63y=188}.
 (11 pont)
 

2. Egy óra számlapja 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy 12 órakor az egyik csúcs felé mutatnak.
a) Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján?
b) Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából?  (12 pont)
 

3. Egy egyfordulós röplabdakupán ‐ ahol tehát bármely két csapat pontosan egyszer játszik egymással ‐ 30 lejátszott mérkőzés után még minden csapatnak három mérkőzése volt hátra. Hány csapat szerepelt a kupán?  (14 pont)
 

4. Határozzuk meg az AB halmazt, ha A={xR3(ctgx-tgx)=23}, B={xR|x|2}.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. A 10n+14n+15n+21n kifejezésben az n  3-mal osztható pozitív páratlan egész számot jelöl.
a) Igazoljuk, hogy a négytagú összeg minden ilyen n esetén osztható lesz 1260-nal.
b) A négytagú összeg két tagját véletlenszerűen kiválasztjuk. Mekkora valószínűséggel lesz a két tag összege hárommal osztható?  (16 pont)
 

6. Egy háromszögben ismerjük mindhárom oldal hosszát és mindhárom szög nagyságát. Mutassuk meg, hogy ezeket az értékeket az
(a2)2+(b2)2+(c2)2ctgα+ctgβ+ctgγ
képletbe behelyettesítve a háromszög területét kapjuk.  (16 pont)
 

7. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett f(x)=8x3-6x-1 hozzárendeléssel megadott függvénynek három különböző zérushelye van és ezek közül a legnagyobb: x1=cosπ9.  (16 pont)
 

8. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 2, a befogókhoz hozzáírt köreinek sugara 3 és 10. Mekkora az átfogóhoz hozzáírt kör sugara?  (16 pont)
 

9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne 12 órás és 6 órás jegy. A 12 órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a 6 órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne 3 órás jegy 350 Ft-ért, 6 órás jegy 600 Ft-ért, 9 órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek 150 látogatót és a következő gyakoriság adódott:
 
időtartam (h)0‐11‐22‐33‐44‐55‐66‐77‐88‐99‐1010‐1111‐12gyakoriság (fő)6711182526201615420
 

a) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint?
b) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint?
c) Egy harmadik változatban 4, 8 és 12 órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára 10-zel osztható?  (16 pont)
1Számadó László 1999 szeptemberétől volt szerkesztőségünk tagja. 2004-től szerkesztette az Emelt szintű gyakorló feladatsorokat, melyek egy részét ő is állította össze. Sajnos nem tudja tovább e feladatokat vállalni. Most egy válogatást közlünk az eddigi feladatsoraiból.