Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2014/november, 471 - 472. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1 I. rész   1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x^2+5\right)}^2}& {\displaystyle =25-\left|y-3\right|}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 21x+63y}& {\displaystyle =188}\hfill \end{array}}\}\mathrm{.}}\end{array}$  (11 pont)   2. Egy óra számlapja 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy 12 órakor az egyik csúcs felé mutatnak. $a)$ Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján? $b)$ Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából?  (12 pont)   3. Egy egyfordulós röplabdakupán ‐ ahol tehát bármely két csapat pontosan egyszer játszik egymással ‐ 30 lejátszott mérkőzés után még minden csapatnak három mérkőzése volt hátra. Hány csapat szerepelt a kupán?  (14 pont)   4. Határozzuk meg az $A\cap B$ halmazt, ha $A=\left\{x\in \text{R}\mid 3\left(\text{ctg}x-\text{tg}x\right)=2\sqrt[]{3}\right\}$, $B=\left\{x\in \text{R}\mid \left|x\right|\le 2\right\}$.  (14 pont)   II. rész   5. A ${10}^n+{14}^n+{15}^n+{21}^n$ kifejezésben az $n$  $3$-mal osztható pozitív páratlan egész számot jelöl. $a)$ Igazoljuk, hogy a négytagú összeg minden ilyen $n$ esetén osztható lesz $1260$-nal. $b)$ A négytagú összeg két tagját véletlenszerűen kiválasztjuk. Mekkora valószínűséggel lesz a két tag összege hárommal osztható?  (16 pont)   6. Egy háromszögben ismerjük mindhárom oldal hosszát és mindhárom szög nagyságát. Mutassuk meg, hogy ezeket az értékeket az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2}{\text{ctg}\alpha +\text{ctg}\beta +\text{ctg}\gamma }}\end{array}$ képletbe behelyettesítve a háromszög területét kapjuk.  (16 pont)   7. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)=8x^3-6x-1$ hozzárendeléssel megadott függvénynek három különböző zérushelye van és ezek közül a legnagyobb: $x_1=\text{cos}\frac{\pi }{9}$.  (16 pont)   8. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 2, a befogókhoz hozzáírt köreinek sugara 3 és 10. Mekkora az átfogóhoz hozzáírt kör sugara?  (16 pont)   9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne 12 órás és 6 órás jegy. A 12 órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a 6 órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne 3 órás jegy 350 Ft-ért, 6 órás jegy 600 Ft-ért, 9 órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek 150 látogatót és a következő gyakoriság adódott:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{időtartam (h)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0‐1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1‐2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2‐3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3‐4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4‐5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5‐6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6‐7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7‐8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8‐9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9‐10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10‐11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11‐12}}\hfill \\ {\displaystyle \text{gyakoriság (fő)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{18}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{25}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{26}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{20}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{16}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint? $b)$ Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint? $c)$ Egy harmadik változatban 4, 8 és 12 órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára 10-zel osztható?  (16 pont) 1Számadó László 1999 szeptemberétől volt szerkesztőségünk tagja. 2004-től szerkesztette az Emelt szintű gyakorló feladatsorokat, melyek egy részét ő is állította össze. Sajnos nem tudja tovább e feladatokat vállalni. Most egy válogatást közlünk az eddigi feladatsoraiból.