Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2014/április, 194 - 195. oldal  PDF file

I. rész
 

 
1. Számítsuk ki számológép használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét:
a=223-22-223+22,b=(0,2-131250,4-6423-1):27,c=-4sin67π6lg0,01.

(11 pont)
 
2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
cos2x+4sin2x-4=-3cos2x+3sinx-4cos2x+3.
 (12 pont)
 

 
3. Egy háromjegyű szám négyszereséhez 36-ot kell adnunk, hogy a számjegyeiből a fordított sorrendben alkotott háromjegyű számot kapjuk. Melyik volt az eredeti háromjegyű szám?  (14 pont)
 
4. Csúcsainak koordinátáival adott egy háromszög: A(1;2), B(13;2), C(5;10). Számítással igazoljuk ebben a háromszögben, hogy az MK szakasz K ponthoz közelebbi harmadoló pontja az ABC háromszög S súlypontja lesz. (M a magasságpontot, K a háromszög köré írt kör középpontját jelöli.)  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. Az ábrán látható építményt három derékszögű vonalzóból úgy raktuk össze, hogy az azonos hosszúságú befogójuknál illeszkedjenek egymáshoz, a további befogók pedig az asztallapon legyenek.

 
 

A középső vonalzó egyenlő szárú, az egyik szélsőnek a hosszú, a másiknak a rövid befogója érintkezik az asztallappal. Az ábrán látható A, B és C pontok egy egyenesre illeszkednek, és AB=BC=8 cm.
 
a) Adjuk meg az ADE, BDE és CDE derékszögű háromszögek területének arányát.
b) Milyen magasan van az asztallap fölött az E pont?  (16 pont)
 
6. Tekintsük az f(x)=x2 hozzárendelésű függvény grafikonjára illeszkedő, az
An(-n;f(-n)),Bn(n;f(n)),Cn(n+1;f(n+1)),Dn(-n-1;f(-n-1))
pontok által meghatározott húrtrapézokat (n pozitív egész számot jelöl). Az AnBnCnDn körülírt körének sugara legyen rn.
a) Adjuk meg az r1+r2+r3 összeget.
b) Határozzuk meg a limnr12+r22+...+rn2n3 határértéket.  (16 pont)
 
7. Egy terepasztalon az ábrán látható folt egy tó alakját mutatja. Ha ezt a síkidomot 1 cm egységű koordinátarendszerbe helyezzük, akkor a határvonalát az
f(x)=x4-2x2+x+3
és a
g(x)=-x2+x+15
hozzárendeléssel adott függvények grafikonja adja.

 
 

a) Milyen messze van egymástól a grafikonok metszéspontja?
b) Mekkora a folt területe?  (16 pont)
 
8. Adjuk meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy az
{xy+x+y+2=0,x-p=y(px+1)
egyenletrendszernek pontosan egy valós (x;y) számpár legyen a megoldása.  (16 pont)
 
9. Az egységsugarú gömbbe olyan kúpot írunk, amelyben a tengely és az alkotó szöge α. Adjuk meg a kúp felszínét és térfogatát sinα függvényében.  (16 pont)