Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2014/április, 194 - 195. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Számítsuk ki számológép használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{2\sqrt[]{2}}{3-2\sqrt[]{2}}-\frac{2\sqrt[]{2}}{3+2\sqrt[]{2}}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =(0\mathrm{,}{2}^{-1}\cdot {3125}^{0\mathrm{,}4}-\sqrt[3]{{64}^2}-1):\mathrm{27,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c}& {\displaystyle =-4\cdot \text{sin}\frac{67\pi }{6}\cdot \text{lg}0\mathrm{,}01.}\hfill \end{array}}$ (11 pont)   2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{cos}{}^{2}x+4}{\text{sin}{}^{2}x-4}=\frac{-3\text{cos}{}^{2}x+3\text{sin}x-4}{\text{cos}{}^{2}x+3}\mathrm{.}}\end{array}$  (12 pont)     3. Egy háromjegyű szám négyszereséhez 36-ot kell adnunk, hogy a számjegyeiből a fordított sorrendben alkotott háromjegyű számot kapjuk. Melyik volt az eredeti háromjegyű szám?  (14 pont)   4. Csúcsainak koordinátáival adott egy háromszög: $A\left(1;2\right)$, $B\left(13;2\right)$, $C\left(5;10\right)$. Számítással igazoljuk ebben a háromszögben, hogy az $MK$ szakasz $K$ ponthoz közelebbi harmadoló pontja az $ABC$ háromszög $S$ súlypontja lesz. ($M$ a magasságpontot, $K$ a háromszög köré írt kör középpontját jelöli.)  (14 pont)   II. rész     5. Az ábrán látható építményt három derékszögű vonalzóból úgy raktuk össze, hogy az azonos hosszúságú befogójuknál illeszkedjenek egymáshoz, a további befogók pedig az asztallapon legyenek.     A középső vonalzó egyenlő szárú, az egyik szélsőnek a hosszú, a másiknak a rövid befogója érintkezik az asztallappal. Az ábrán látható $A$, $B$ és $C$ pontok egy egyenesre illeszkednek, és $AB=BC=8$ cm.   $a)$ Adjuk meg az $ADE$, $BDE$ és $CDE$ derékszögű háromszögek területének arányát. $b)$ Milyen magasan van az asztallap fölött az $E$ pont?  (16 pont)   6. Tekintsük az $f\left(x\right)=x^2$ hozzárendelésű függvény grafikonjára illeszkedő, az $\begin{array}{c}{\displaystyle A_n\left(-n;f\left(-n\right)\right)\mathrm{,}{B}_n\left(n;f\left(n\right)\right)\mathrm{,}{C}_n\left(n+1;f\left(n+1\right)\right)\mathrm{,}{D}_n\left(-n-1;f\left(-n-1\right)\right)}\end{array}$ pontok által meghatározott húrtrapézokat ($n$ pozitív egész számot jelöl). Az $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ körülírt körének sugara legyen $r_n$. $a)$ Adjuk meg az $r_1+r_2+r_3$ összeget. $b)$ Határozzuk meg a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{r_1^2+r_2^2+\text{...}+r_n^2}{n^3}$ határértéket.  (16 pont)   7. Egy terepasztalon az ábrán látható folt egy tó alakját mutatja. Ha ezt a síkidomot 1 cm egységű koordinátarendszerbe helyezzük, akkor a határvonalát az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=x^4-2x^2+x+3}\end{array}$ és a $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(x\right)={-x}^2+x+15}\end{array}$ hozzárendeléssel adott függvények grafikonja adja.     $a)$ Milyen messze van egymástól a grafikonok metszéspontja? $b)$ Mekkora a folt területe?  (16 pont)   8. Adjuk meg a $p$ valós paraméter értékét úgy, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle xy+x+y+2=\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle x-p=y\left(px+1\right)}\end{array}}}\end{array}$ egyenletrendszernek pontosan egy valós $\left(x;y\right)$ számpár legyen a megoldása.  (16 pont)   9. Az egységsugarú gömbbe olyan kúpot írunk, amelyben a tengely és az alkotó szöge $\alpha$. Adjuk meg a kúp felszínét és térfogatát $\text{sin}\alpha$ függvényében.  (16 pont)