Cím: Megoldásvázlatok a 2014/2. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2014/március, 131 - 139. oldal  PDF file

Megoldásvázlatok a 2014/2. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
 

I. rész
 

 
1. Péternek volt 84 000 Ft-ja, amit édesapja p%-kal megnövelt. Ezt követően Péter a pénzének (p-5)%-áért könyveket vásárolt. Ekkor annyi pénze maradt, mint amennyi eredetileg volt. Mennyibe kerültek a könyvek?  (11 pont)
 
Megoldás. Ha p%-kal megnövekedett a pénze, akkor 84000(1+p100) forintja lett. Ezt követően ennek az összegnek elköltötte a (p-5)%-át. Ekkor
84000(1+p100)(1-p-5100)
forintja maradt, ami a szöveg szerint pontosan 84 000 Ft. Ezt felírhatjuk egyenletként:

84000(1+p100)(1-p-5100)=84000,(1+p100)(1-p-5100)=1.
Végezzük el a beszorzást, majd rendezzük az egyenletet:
1+p100-p-5100-p(p-5)10000=1,100p-100(p-5)-p(p-5)=0,p2-5p-500=0.

A megoldóképlet segítségével kapjuk a gyököket:

p1;2=5±25-4(-500)2=5±452,p1=25,p2=-20.



A feladat szövege szerint csak az első gyök jöhet szóba. Édesapja 25%-kal növelte a pénzét, azaz 21 000 Ft-tal. Ezt költötte el könyvekre.
Vagyis a könyvek 21 000 Ft-ba kerültek.
 
2. Milyen háromszög oldalaira teljesül az a4+2b2c2=b4+c4 összefüggés?
  (12 pont)

 
Megoldás. Rendezzük az összefüggést 0-ra:

a4-b4+2b2c2-c4=0,a4-(b4-2b2c2+c4)=0.
A zárójelben lévő háromtagú kifejezés teljes négyzet:
a4-(b2-c2)2=0.
Ezt írhatjuk szorzatalakban is:
(a2-b2+c2)(a2+b2-c2)=0.
Ez a szorzat akkor és csak akkor 0, ha a2+c2=b2 vagy a2+b2=c2.
Vagyis a Pitagorasz-tétel megfordítása szerint a háromszög biztosan derékszögű. (Az is kiderült, hogy vagy a b, vagy a c oldallal szemben van a háromszög derékszöge.)
 
3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:
{14x+3y-5-15x+y+2=4,7x+3y+9x+y=4.(16 pont)

 
Megoldás. Egyik nevező sem lehet 0, ezért x+3y5, x+y-2, x+3y0, x+y0.
Vezessük be a következő új ismeretleneket: a=x+y, b=x+3y. Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk:
{14b-5-15a+2=4,7b+9a=4.
Az első egyenletet (a+2)(b-5)-tel, a másodikat ab-vel szorozzuk:
{14(a+2)-15(b-5)=4(a+2)(b-5),7a+9b=4ab.
A műveletek elvégzése és a rendezés után a következőt kapjuk:
{34a-23b+143-4ab=0,7a+9b=4ab.
Az első egyenletben a 4ab helyettesíthető (7a+9b)-vel:
34a-23b+143-(7a+9b)=0,
27a-32b+143=0,
a=32b-14327.
Ezt visszaírhatjuk az egyenletrendszer második egyenletének rendezett változatába:
732b-14327+9b=432b-14327b,
amit 27-tel szorozhatunk, majd a műveletek elvégzése után a következő másodfokú egyenletet kapjuk:
128b2-1039b+1001=0.
Alkalmazzuk a megoldóképletet:

b1;2=1039±10392-412810012128=1039±753256,b1=7,b2=143128.



A feladat feltételei alapján b-nek is egésznek kell lenni, így b2 nem jöhet szóba. Behelyettesítéssel kapjuk:
a1=32b1-14327=327-14327=3.
Meghatároztuk az új ismeretlenek értékét, ezért most már felírhatjuk, hogy
{x+y=3,x+3y=7.
Ennek megoldása: x=1, y=2.
Ez a számpár minden feltételnek eleget tesz, így ez az eredeti egyenletrendszer megoldása.
 
4. Egy kiadó honlapján az olvasók szavazhattak arra, hogy szerintük mi volt 2013 legjellemzőbb szava. A játékosoknak három szót kellett ajánlani. László nagyon korán bekapcsolódott a játékba, és ekkor mindhárom szava felkerült a tízes listára. Az ekkori állást a következő táblázat mutatja:
 
A szószavazatok számaRezsicsökkentés36  Okostelefon25  Táblagép24  Életpályamodell21  Kedvesem16  Nemzeti dohánybolt15  Jobban teljesít14  Devizahitel11  Összefogás10  Remény18
 

a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy kitaláljuk az általa ajánlott három szót, ha tudjuk, hogy ekkor pontosan egy szava szerepelt a legjobb három között?
b) Hányféle olyan ajánlás képzelhető el, amelynek mindhárom szava szerepel a listán?
c) Hányféle olyan ajánlás képzelhető el, amelynek mindhárom szava szerepel a listán, de nincsenek szomszédosak közöttük?  (14 pont)

 
Megoldás. a) Az egyik szava a szöveg feltételei szerint a rezsicsökkentés, az okostelefon vagy a táblagép volt. A további hét szóból még valamelyik kettőt ajánlotta László. Az ilyen szópárok száma:
(72)=7612=21.
Vagyis az összes esetek száma: 321=63.
Ebből csak egy a kedvező, így a valószínűség már meghatározható a kedvező esetek és az összes esetek számának hányadosaként.
A keresett valószínűség: 163.
b) Az ajánlásban az ajánlott szavak sorrendje nem számít. A tíz szóból bármelyik három kiválasztása megfelelő lesz. Vagyis a megfelelő szóhármasok száma:
(103)=1098123=120.

c) Számoljuk össze azokat az eseteket, amikor van szomszédos az ajánlott három szó között. A szavakat jelöljük röviden a 0, 1, 2, 3, ..., 9 számjegyekkel.
Lehet, hogy mindhárom egymás mellett van: 012, 123, ..., 789. Ez 8 eset.
Lehet, hogy pontosan kettő van egymás mellett. Ekkor könnyen megszámolhatjuk, hogy hány különböző módon tudjuk hozzájuk választani a harmadikat. A két szomszédoshoz képest a harmadik lehet, hogy a listán kisebb, lehet, hogy nagyobb sorszámmal szerepelt.
 
  A 01 esetén 0+7;az 12 esetén 0+6;a 23 esetén 1+5;a 34 esetén 2+4;a 45 esetén 3+3;az 56 esetén 4+2;a 67 esetén 5+1;a 78 esetén 6+0;a 89 esetén 7+0  lehetőség adódik.  
 

Így 56 esetet kaptunk.
Összesen 8+56=64 olyan szóhármas van, amelyek tartalmaznak szomszédos szavakat is. Mivel összesen 120-féleképpen lehet szóhármasokat kiválasztani a 10 szóból, azért a feltételeknek 120-64=56 eset felel meg.
 

II. rész
 

 
5. Egy 120 cm-szer 120 cm-es ablakba beilleszthető üvegtáblát az ábrán látható módon szeretnénk megosztani. (A négy ötszög egybevágó, az ötödik síkidom négyzet.)
a) Milyen határok között mozog ennek az osztóvonalnak a hossza?
b) Adjuk meg az osztóvonal hosszát centiméter pontossággal, ha az ablak belsejében kialakuló minta öt egyenlő területű részből áll.  (16 pont)

 
 

 
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.
a) Mivel v=z-x=60-x (hiszen z az ablak szélességének a fele), azért y=2(60-x). Felhasználtuk az egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója és átfogója közötti kapcsolatot.
Az osztóvonal hossza 4(x+y), ezt most már kifejezhetjük csak x függvényeként:
f(x)=4(x+2(60-x))=4(1-2)x+2402.
f(x) szigorúan monoton csökkenő elsőfokú függvény, ahol x]0;60[.
Mivel f(0)=2402, és f(60)=240, azért az osztóvonal hossza 240 cm-nél nagyobb, és 2402 cm-nél kisebb lehet.
b) A nagy négyzet területe: T=4z2. A belső kis négyzet területe a nagy
 
négyzet ötödével egyenlő: t=y2=4z25. Ebből kapjuk: y=2z5.
Mivel y az átfogója a v befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögnek, azért:
v=y2=2z52=2z10=z105.
Ezeket felhasználva:
x=z-v=z-z105=5-105z.
Vagyis az osztóvonal hossza:
4(x+y)=4(5-105z+25z)=4(5-10+25)5z.
Tudjuk, hogy z=60 cm. Ezt behelyettesítve kapjuk a vonal hosszát, amit centiméterre kell kerekítenünk a feladat kérése szerint:
4(x+y)=4(5-10+25)560=48(5-10+25)303(cm).  

 
6. Egy mértani sorozat első és harmadik elemének összege 50, a második és negyedik elemének összege pedig 350. A sorozat minden eleme pozitív egész szám, továbbá az első n elem összege osztható 5-tel.
a) Adjuk meg a sorozat első négy elemét.
b) Határozzuk meg n értékét.  (16 pont)

 
Megoldás. a) A mértani sorozat tagjai: a, aq, aq2, aq3. A feladat szövege szerint: a+aq2=50 és aq+aq3=350. Az egyenletek bal oldalán kiemeléssel szorzatokat alakítunk ki:
a(1+q2)=50,aq(1+q2)=350.
Az első egyenlet bal oldalát q-val, a jobb oldalát 7-tel szorozva a második egyenletet kapjuk, ezért q=7, és ehhez a=1 adódik. (Így valóban a sorozat minden tagja pozitív egész lesz.)
Vagyis a sorozat első négy tagja: 1, 7, 49, 343.
b) Folytassuk a sorozat tagjainak felírását: 1, 7, 49, 343, 2401, ... . A végződések periodikusan ismétlődnek négyesével: 1, 7, 9, 3, 1, ... . n tag esetén az összeg utolsó számjegyei a következők: 1, 8, 7, 0, 1, ... .
Mivel ezek is periodikusak, és minden negyedik végződés 0, (5-ös végződés nincs), azért minden negyedik sorszám megfelelő lesz.
Ez azt jelenti, hogy 4-gyel osztható n esetén lesz a kérdéses sorozat első n tagjának összege 5-tel osztható.
 
7. Adott az ABC egyenlő szárú háromszög két szárának egyenlete:
a:7x-4y=-24,b:x-8y=4,
továbbá a harmadik oldalára illeszkedő P(10;4) pont.
a) Adjuk meg a szárak C metszéspontját.
b) Írjuk fel a C csúcsra illeszkedő belső szögfelező egyenletét.
c) Írjuk fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét.  (16 pont)

 
Megoldás. a) A C csúcs koordinátáit a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása adja:
{7x-4y=-24,x-8y=4.
A második egyenletből x=8y+4, ezt helyettesítsük be az első egyenletbe:
7(8y+4)-4y=-24,y=-1.x=8(-1)+4=-4.
Vagyis a szárak metszéspontja: C(-4;-1).
b) Az a és b egyenesek a C pontban metszik egymást, a C-n át két szögfelező is húzható, de nekünk a feladat feltételei szerint csak annak a tartománynak a szögfelezője kell, amelyikben benne van a P(10;4) pont.
 
 
Határozzuk meg ennek az f szögfelezőnek az irányvektorát. Az egyenes irányvektoros egyenletének ismeretében az a egyenes irányvektora: va(4;7), a b egyenes irányvektora: vb(8;1).
va és vb egyenlő hosszúságúak:
|va|=42+72=65,|vb|=82+12=65.

Ha két egyenlő hosszú vektort összeadunk, akkor a paralelogramma szabályra gondolva a paralelogramma rombusz lesz. A rombusz átlója pedig szögfelező. Így most az f belső szögfelező egyik irányvektora: va+vb.
A koordinátákkal elvégezve a megfelelő műveleteket:
va+vb=(4+8)i+(7+1)j=12i+8j,
ahol i és j a szokásos egységvektorokat jelenti: i(1;0), j(0;1).
A va+vb vektornak a negyedével fogunk tovább számolni. Ez a vektor az f egyik irányvektora: vf(3;2). A megfelelő forgatással megkapjuk az nf(2;-3) normálvektort is. Az nf(2;-3) normálvektorral felírható a C(-4;-1) csúcsra illeszkedő f szögfelező egyenlete:
f:2x-3y=2(-4)-3(-1)=-5.

c) Mivel a háromszög egyenlő szárú, azért az a és b egyenesek szögfelezője merőleges lesz a harmadik oldalegyenesre, vagyis a szögfelező irányvektora a keresett c oldalegyenes normálvektora lesz: vf=nc(3;2). Az nc(3;2) normálvektorral felírható a P(10;4) pontra illeszkedő c egyenes egyenlete:
c:3x+2y=310+24=38.

 
8. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
(2-43)cos2x+2sinxcosx+(2-23)sin2x=2-33+2.
 (16 pont)

 
Megoldás. Használjuk a függvénytáblázat trigonometriai azonosságait. Tudjuk, hogy 2sinxcosx=sin2x, cos2x+sin2x=1 és cos2x-sin2x=cos2x. A két utóbbi különbségeként és összegeként a következő azonosságokat kapjuk:
2sin2x=1-cos2x,illetve2cos2x=1+cos2x.

Ezek felhasználásával az egyenletet így írhatjuk:
(1-23)(1+cos2x)+sin2x+(1-3)(1-cos2x)=2-33+2,1-23+cos2x-23cos2x+sin2x+1-3-cos2x+3cos2x=2-33+2,sin2x-3cos2x=2.

 
Osztunk 2-vel, hogy alkalmazható legyen a függvénytáblázat
sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α+β)
azonossága:
12sin2x-32cos2x=22.
Ekkor az 12, 32, 22 helyére rendre a cosπ3, sinπ3, sinπ4 értékeket írjuk, így az α=2x, a β=π3 lesz:

sin2xcosπ3-cos2xsinπ3=sinπ4,sin(2x+π3)=sinπ4.

I. (2x+π3)-π4=2k1π, ahol k1Z:  x1=-π24+k1π.
 
II. (2x+π3)+π4=π+2k2π, ahol k2Z:  x2=5π24+k2π.
 
9. Ha a [-3;3] intervallumon értelmezett f(x)=2|x+1|+2|x-1| és g(x)=x2 hozzárendelésű függvények görbéjét az y tengely körül megforgatjuk, akkor két pohár belső felületét kapjuk. A koordinátarendszer egysége pontosan 1 cm. Adjuk meg a két pohár térfogatának különbségét.
A számolás során ‐ ha szükséges ‐ felhasználhatjuk, hogy az [a;b]-n értelmezett f(x) függvény grafikonjának az x tengely körüli megforgatásával kapott test térfogata:
πabf2(x)dx.
 (16 pont)

 
Megoldás. Ábrázoljuk az első poharat meghatározó f(x)=2|x+1|+2|x-1| hozzárendelésű függvényt a [-3;3] intervallumon.
Ha x[-3;-1[, akkor f(x)=-2x-2-2x+2=-4x.
Ha x[-1;1], akkor f(x)=2x+2-2x+2=4.
Ha x]1;3], akkor f(x)=2x+2+2x-2=4x.
Ezek alapján az 1. ábra mutatja az f(x) grafikonját.
A grafikon y tengely körüli megforgatásával csonkakúpot kapunk. Alapköreinek sugara: r=1, R=3, magassága: m=8. Használjuk a csonkakúp térfogatképletét:
V1=π3m(R2+Rr+r2)=π38(9+3+1)=104π3108,9(cm3).


1. ábra

 


2. ábra

A másik pohár (2. ábra) is forgástest alakú. Ha az x tengely körül megforgatjuk a [0;9] intervallumon a h(x)=x függvény görbéjét, akkor is ezt a testet kapjuk.
Használhatjuk a feladat szövegében megadott térfogatkiszámítási módot. Ennek a testnek a térfogata:
V2=π09(x)2dx=π09xdx=π[x22]09=81π2127,2(cm3).

Vagyis a második pohár térfogata 18,3 cm3-rel nagyobb, mint az elsőé.