Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok a 2014/2. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2014/március, 131 - 139. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásvázlatok a 2014/2. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz

I. rész

1. Péternek volt 84 000 Ft-ja, amit édesapja

p %

-kal megnövelt. Ezt követően Péter a pénzének

(p - 5) %

-áért könyveket vásárolt. Ekkor annyi pénze maradt, mint amennyi eredetileg volt. Mennyibe kerültek a könyvek? (11 pont)

Megoldás. Ha

p

%-kal megnövekedett a pénze, akkor

84 000 (1 + \frac{p}{100})

forintja lett. Ezt követően ennek az összegnek elköltötte a

(p - 5)

%-át. Ekkor

\begin{matrix} 84 000 (1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{p - 5}{100}) \end{matrix}

forintja maradt, ami a szöveg szerint pontosan 84 000 Ft. Ezt felírhatjuk egyenletként:

\begin{matrix} 84 000 (1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{p - 5}{100}) & = 84 000, \\ (1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{p - 5}{100}) & = 1. \end{matrix}

Végezzük el a beszorzást, majd rendezzük az egyenletet:

\begin{matrix} 1 + \frac{p}{100} - \frac{p - 5}{100} - \frac{p (p - 5)}{10 000} & = 1, \\ 100 p - 100 (p - 5) - p (p - 5) & = 0, \\ p^{2} - 5 p - 500 & = 0. \end{matrix}

A megoldóképlet segítségével kapjuk a gyököket:

\begin{matrix} p_{1; 2} = \frac{5 \pm \sqrt[]{25 - 4 \cdot (- 500)}}{2} = \frac{5 \pm 45}{2}, \\ p_{1} = 25, p_{2} = - 20. \end{matrix}

A feladat szövege szerint csak az első gyök jöhet szóba. Édesapja 25%-kal növelte a pénzét, azaz 21 000 Ft-tal. Ezt költötte el könyvekre.
Vagyis a könyvek 21 000 Ft-ba kerültek.

2. Milyen háromszög oldalaira teljesül az

a^{4} + 2 b^{2} c^{2} = b^{4} + c^{4}

összefüggés?

\begin{matrix}  \end{matrix}

(12 pont)

Megoldás. Rendezzük az összefüggést 0-ra:

\begin{matrix} a^{4} - b^{4} + 2 b^{2} c^{2} - c^{4} & = 0, \\ a^{4} - (b^{4} - 2 b^{2} c^{2} + c^{4}) & = 0. \end{matrix}

A zárójelben lévő háromtagú kifejezés teljes négyzet:

\begin{matrix} a^{4} - {(b^{2} - c^{2})}^{2} = 0. \end{matrix}

Ezt írhatjuk szorzatalakban is:

\begin{matrix} (a^{2} - b^{2} + c^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0. \end{matrix}

Ez a szorzat akkor és csak akkor 0, ha

a^{2} + c^{2} = b^{2}

vagy

a^{2} + b^{2} = c^{2}

.
Vagyis a Pitagorasz-tétel megfordítása szerint a háromszög biztosan derékszögű. (Az is kiderült, hogy vagy a

b

, vagy a

c

oldallal szemben van a háromszög derékszöge.)

3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:

\begin{matrix} {\begin{matrix} \frac{14}{x + 3 y - 5} - \frac{15}{x + y + 2} & = 4, \\ \frac{7}{x + 3 y} + \frac{9}{x + y} & = 4. \end{matrix} \end{matrix}

(16 pont)

Megoldás. Egyik nevező sem lehet 0, ezért

x + 3 y \neq 5

x + y \neq - 2

x + 3 y \neq 0

x + y \neq 0

.
Vezessük be a következő új ismeretleneket:

a = x + y

b = x + 3 y

. Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} {\begin{matrix} \frac{14}{b - 5} - \frac{15}{a + 2} & = 4, \\ \frac{7}{b} + \frac{9}{a} & = 4. \end{matrix} \end{matrix}

Az első egyenletet

(a + 2) (b - 5)

-tel, a másodikat

a b

-vel szorozzuk:

\begin{matrix} {\begin{matrix} 14 (a + 2) - 15 (b - 5) & = 4 (a + 2) (b - 5), \\ 7 a + 9 b & = 4 a b . \end{matrix} \end{matrix}

A műveletek elvégzése és a rendezés után a következőt kapjuk:

\begin{matrix} {\begin{matrix} 34 a - 23 b + 143 - 4 a b & = 0, \\ 7 a + 9 b & = 4 a b . \end{matrix} \end{matrix}

Az első egyenletben a

4 a b

helyettesíthető

(7 a + 9 b)

-vel:

\begin{matrix} 34 a - 23 b + 143 - (7 a + 9 b) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} 27 a - 32 b + 143 = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} a = \frac{32 b - 143}{27} . \end{matrix}

Ezt visszaírhatjuk az egyenletrendszer második egyenletének rendezett változatába:

\begin{matrix} 7 \cdot \frac{32 b - 143}{27} + 9 b = 4 \cdot \frac{32 b - 143}{27} \cdot b, \end{matrix}

amit 27-tel szorozhatunk, majd a műveletek elvégzése után a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 128 b^{2} - 1039 b + 1001 = 0. \end{matrix}

Alkalmazzuk a megoldóképletet:

\begin{matrix} b_{1; 2} = \frac{1039 \pm \sqrt[]{1039^{2} - 4 \cdot 128 \cdot 1001}}{2 \cdot 128} = \frac{1039 \pm 753}{256}, \\ b_{1} = 7, b_{2} = \frac{143}{128} . \end{matrix}

A feladat feltételei alapján

b

-nek is egésznek kell lenni, így

b_{2}

nem jöhet szóba. Behelyettesítéssel kapjuk:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{32 \cdot b_{1} - 143}{27} = \frac{32 \cdot 7 - 143}{27} = 3. \end{matrix}

Meghatároztuk az új ismeretlenek értékét, ezért most már felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} {\begin{matrix} x + y & = 3, \\ x + 3 y & = 7. \end{matrix} \end{matrix}

Ennek megoldása:

x = 1

y = 2

.
Ez a számpár minden feltételnek eleget tesz, így ez az eredeti egyenletrendszer megoldása.

4. Egy kiadó honlapján az olvasók szavazhattak arra, hogy szerintük mi volt

2013

legjellemzőbb szava. A játékosoknak három szót kellett ajánlani. László nagyon korán bekapcsolódott a játékba, és ekkor mindhárom szava felkerült a tízes listára. Az ekkori állást a következő táblázat mutatja:

\begin{matrix} A szó & szavazatok száma \\ Rezsicsökkentés & 36 \\ Okostelefon & 25 \\ Táblagép & 24 \\ Életpályamodell & 21 \\ Kedvesem & 16 \\ Nemzeti dohánybolt & 15 \\ Jobban teljesít & 14 \\ Devizahitel & 11 \\ Összefogás & 10 \\ Remény & 8 \end{matrix}

a)

Mennyi a valószínűsége annak, hogy kitaláljuk az általa ajánlott három szót, ha tudjuk, hogy ekkor pontosan egy szava szerepelt a legjobb három között?

b)

Hányféle olyan ajánlás képzelhető el, amelynek mindhárom szava szerepel a listán?

c)

Hányféle olyan ajánlás képzelhető el, amelynek mindhárom szava szerepel a listán, de nincsenek szomszédosak közöttük? (14 pont)

Megoldás.

a)

Az egyik szava a szöveg feltételei szerint a rezsicsökkentés, az okostelefon vagy a táblagép volt. A további hét szóból még valamelyik kettőt ajánlotta László. Az ilyen szópárok száma:

\begin{matrix} (\binom{7}{2}) = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 21. \end{matrix}

Vagyis az összes esetek száma:

3 \cdot 21 = 63

.
Ebből csak egy a kedvező, így a valószínűség már meghatározható a kedvező esetek és az összes esetek számának hányadosaként.
A keresett valószínűség:

\frac{1}{63}

b)

Az ajánlásban az ajánlott szavak sorrendje nem számít. A tíz szóból bármelyik három kiválasztása megfelelő lesz. Vagyis a megfelelő szóhármasok száma:

\begin{matrix} (\binom{10}{3}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120. \end{matrix}

c)

Számoljuk össze azokat az eseteket, amikor van szomszédos az ajánlott három szó között. A szavakat jelöljük röviden a 0, 1, 2, 3,

...

, 9 számjegyekkel.
Lehet, hogy mindhárom egymás mellett van: 012, 123,

...

, 789. Ez 8 eset.
Lehet, hogy pontosan kettő van egymás mellett. Ekkor könnyen megszámolhatjuk, hogy hány különböző módon tudjuk hozzájuk választani a harmadikat. A két szomszédoshoz képest a harmadik lehet, hogy a listán kisebb, lehet, hogy nagyobb sorszámmal szerepelt.

\begin{matrix} A & 01 esetén & 0 + 7; \\ az & 12 esetén & 0 + 6; \\ a & 23 esetén & 1 + 5; \\ a & 34 esetén & 2 + 4; \\ a & 45 esetén & 3 + 3; \\ az & 56 esetén & 4 + 2; \\ a & 67 esetén & 5 + 1; \\ a & 78 esetén & 6 + 0; \\ a & 89 esetén & 7 + 0lehetőség adódik. \end{matrix}

Így 56 esetet kaptunk.
Összesen

8 + 56 = 64

olyan szóhármas van, amelyek tartalmaznak szomszédos szavakat is. Mivel összesen 120-féleképpen lehet szóhármasokat kiválasztani a 10 szóból, azért a feltételeknek

120 - 64 = 56

eset felel meg.

II. rész

5. Egy 120 cm-szer 120 cm-es ablakba beilleszthető üvegtáblát az ábrán látható módon szeretnénk megosztani. (A négy ötszög egybevágó, az ötödik síkidom négyzet.)

a)

Milyen határok között mozog ennek az osztóvonalnak a hossza?

b)

Adjuk meg az osztóvonal hosszát centiméter pontossággal, ha az ablak belsejében kialakuló minta öt egyenlő területű részből áll. (16 pont)

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

a)

Mivel

v = z - x = 60 - x

(hiszen

z

az ablak szélességének a fele), azért

y = \sqrt[]{2} (60 - x)

. Felhasználtuk az egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója és átfogója közötti kapcsolatot.
Az osztóvonal hossza

4 (x + y)

, ezt most már kifejezhetjük csak

x

függvényeként:

\begin{matrix} f (x) = 4 (x + \sqrt[]{2} (60 - x)) = 4 (1 - \sqrt[]{2}) x + 240 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

f (x)

szigorúan monoton csökkenő elsőfokú függvény, ahol

x \in] 0; 60 [

.
Mivel

f (0) = 240 \sqrt[]{2}

, és

f (60) = 240

, azért az osztóvonal hossza 240 cm-nél nagyobb, és

240 \sqrt[]{2}

cm-nél kisebb lehet.

b)

A nagy négyzet területe:

T = 4 z^{2}

. A belső kis négyzet területe a nagy

négyzet ötödével egyenlő:

t = y^{2} = \frac{4 z^{2}}{5}

. Ebből kapjuk:

y = \frac{2 z}{\sqrt[]{5}}

.
Mivel

y

az átfogója a

v

befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögnek, azért:

\begin{matrix} v = \frac{y}{\sqrt[]{2}} = \frac{\frac{2 z}{\sqrt[]{5}}}{\sqrt[]{2}} = \frac{2 z}{\sqrt[]{10}} = \frac{z \sqrt[]{10}}{5} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva:

\begin{matrix} x = z - v = z - \frac{z \sqrt[]{10}}{5} = \frac{5 - \sqrt[]{10}}{5} z . \end{matrix}

Vagyis az osztóvonal hossza:

\begin{matrix} 4 (x + y) = 4 (\frac{5 - \sqrt[]{10}}{5} z + \frac{2}{\sqrt[]{5}} z) = \frac{4 (5 - \sqrt[]{10} + 2 \sqrt[]{5})}{5} z . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

z = 60

cm. Ezt behelyettesítve kapjuk a vonal hosszát, amit centiméterre kell kerekítenünk a feladat kérése szerint:

\begin{matrix} 4 (x + y) = \frac{4 (5 - \sqrt[]{10} + 2 \sqrt[]{5})}{5} \cdot 60 = 48 (5 - \sqrt[]{10} + 2 \sqrt[]{5}) \approx 303 (cm). \end{matrix}

6. Egy mértani sorozat első és harmadik elemének összege

50

, a második és negyedik elemének összege pedig

350

. A sorozat minden eleme pozitív egész szám, továbbá az első

n

elem összege osztható

5

-tel.

a)

Adjuk meg a sorozat első négy elemét.

b)

Határozzuk meg

n

értékét. (16 pont)

Megoldás.

a)

A mértani sorozat tagjai:

a

a q

a q^{2}

a q^{3}

. A feladat szövege szerint:

a + a q^{2} = 50

és

a q + a q^{3} = 350

. Az egyenletek bal oldalán kiemeléssel szorzatokat alakítunk ki:

\begin{matrix} a (1 + q^{2}) & = 50, \\ a q (1 + q^{2}) & = 350. \end{matrix}

Az első egyenlet bal oldalát

q

-val, a jobb oldalát 7-tel szorozva a második egyenletet kapjuk, ezért

q =

7, és ehhez

a =

1 adódik. (Így valóban a sorozat minden tagja pozitív egész lesz.)
Vagyis a sorozat első négy tagja: 1, 7, 49, 343.

b)

Folytassuk a sorozat tagjainak felírását: 1, 7, 49, 343, 2401,

...

. A végződések periodikusan ismétlődnek négyesével: 1, 7, 9, 3, 1,

...

n

tag esetén az összeg utolsó számjegyei a következők: 1, 8, 7, 0, 1,

...

.
Mivel ezek is periodikusak, és minden negyedik végződés 0, (5-ös végződés nincs), azért minden negyedik sorszám megfelelő lesz.
Ez azt jelenti, hogy 4-gyel osztható

n

esetén lesz a kérdéses sorozat első

n

tagjának összege 5-tel osztható.

7. Adott az

A B C

egyenlő szárú háromszög két szárának egyenlete:

\begin{matrix} a : 7 x - 4 y = - 24, b : x - 8 y = 4, \end{matrix}

továbbá a harmadik oldalára illeszkedő

P (10; 4)

pont.

a)

Adjuk meg a szárak

C

metszéspontját.

b)

Írjuk fel a

C

csúcsra illeszkedő belső szögfelező egyenletét.

c)

Írjuk fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét. (16 pont)

Megoldás.

a)

C

csúcs koordinátáit a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása adja:

\begin{matrix} {\begin{matrix} 7 x - 4 y & = - 24, \\ x - 8 y & = 4. \end{matrix} \end{matrix}

A második egyenletből

x = 8 y + 4

, ezt helyettesítsük be az első egyenletbe:

\begin{matrix} 7 (8 y + 4) - 4 y & = - 24, \\ y & = - 1. \\ x = 8 (- 1) + 4 & = - 4. \end{matrix}

Vagyis a szárak metszéspontja:

C (- 4; - 1)

b)

a

és

b

egyenesek a

C

pontban metszik egymást, a

C

-n át két szögfelező is húzható, de nekünk a feladat feltételei szerint csak annak a tartománynak a szögfelezője kell, amelyikben benne van a

P (10; 4)

pont.

Határozzuk meg ennek az

f

szögfelezőnek az irányvektorát. Az egyenes irányvektoros egyenletének ismeretében az

a

egyenes irányvektora:

v_{a} (4; 7)

, a

b

egyenes irányvektora:

v_{b} (8; 1)

v_{a}

és

v_{b}

egyenlő hosszúságúak:

\begin{matrix} | v_{a} | & = \sqrt[]{4^{2} + 7^{2}} = \sqrt[]{65}, \\ | v_{b} | & = \sqrt[]{8^{2} + 1^{2}} = \sqrt[]{65} . \end{matrix}

Ha két egyenlő hosszú vektort összeadunk, akkor a paralelogramma szabályra gondolva a paralelogramma rombusz lesz. A rombusz átlója pedig szögfelező. Így most az

f

belső szögfelező egyik irányvektora:

v_{a} + v_{b}

.
A koordinátákkal elvégezve a megfelelő műveleteket:

\begin{matrix} v_{a} + v_{b} = (4 + 8) i + (7 + 1) j = 12 i + 8 j, \end{matrix}

ahol

i

és

j

a szokásos egységvektorokat jelenti:

i (1; 0)

j (0; 1)

.
A

v_{a} + v_{b}

vektornak a negyedével fogunk tovább számolni. Ez a vektor az

f

egyik irányvektora:

v_{f} (3; 2)

. A megfelelő forgatással megkapjuk az

n_{f} (2; - 3)

normálvektort is. Az

n_{f} (2; - 3)

normálvektorral felírható a

C (- 4; - 1)

csúcsra illeszkedő

f

szögfelező egyenlete:

\begin{matrix} f : 2 x - 3 y = 2 \cdot (- 4) - 3 \cdot (- 1) = - 5. \end{matrix}

c)

Mivel a háromszög egyenlő szárú, azért az

a

és

b

egyenesek szögfelezője merőleges lesz a harmadik oldalegyenesre, vagyis a szögfelező irányvektora a keresett

c

oldalegyenes normálvektora lesz:

v_{f} = n_{c} (3; 2)

. Az

n_{c} (3; 2)

normálvektorral felírható a

P (10; 4)

pontra illeszkedő

c

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} c : 3 x + 2 y = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 4 = 38. \end{matrix}

8. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

\begin{matrix} (2 - 4 \sqrt[]{3}) cos^{2} x + 2 sin x cos x + (2 - 2 \sqrt[]{3}) sin^{2} x = 2 - 3 \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(16 pont)

Megoldás. Használjuk a függvénytáblázat trigonometriai azonosságait. Tudjuk, hogy

2 sin x cos x = sin 2 x

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

és

cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

. A két utóbbi különbségeként és összegeként a következő azonosságokat kapjuk:

\begin{matrix} 2 sin^{2} x = 1 - cos 2 x, illetve 2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x . \end{matrix}

Ezek felhasználásával az egyenletet így írhatjuk:

\begin{matrix} (1 - 2 \sqrt[]{3}) (1 + cos 2 x) + sin 2 x + (1 - \sqrt[]{3}) (1 - cos 2 x) & = 2 - 3 \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}, \\ 1 - 2 \sqrt[]{3} +cos 2 x - 2 \sqrt[]{3} cos 2 x + sin 2 x + 1 - \sqrt[]{3} - cos 2 x + \sqrt[]{3} cos 2 x & = 2 - 3 \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}, \\ sin 2 x - \sqrt[]{3} cos 2 x & = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Osztunk 2-vel, hogy alkalmazható legyen a függvénytáblázat

\begin{matrix} sin α cos β - cos α sin β = sin (α + β) \end{matrix}

azonossága:

\begin{matrix} \frac{1}{2} sin 2 x - \frac{\sqrt[]{3}}{2} cos 2 x = \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

Ekkor az

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt[]{3}}{2}

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

helyére rendre a

cos \frac{π}{3}

sin \frac{π}{3}

sin \frac{π}{4}

értékeket írjuk, így az

α = 2 x

, a

β = \frac{π}{3}

lesz:

\begin{matrix} sin 2 x cos \frac{π}{3} - cos 2 x sin \frac{π}{3} & = sin \frac{π}{4}, \\ sin (2 x + \frac{π}{3}) & = sin \frac{π}{4} . \end{matrix}

(2 x + \frac{π}{3}) - \frac{π}{4} = 2 k_{1} π

, ahol

k_{1} \in Z

x_{1} = - \frac{π}{24} + k_{1} π

II.

(2 x + \frac{π}{3}) + \frac{π}{4} = π + 2 k_{2} π

, ahol

k_{2} \in Z

x_{2} = \frac{5 π}{24} + k_{2} π

9. Ha a

[- 3; 3]

intervallumon értelmezett

f (x) = 2 | x + 1 | + 2 | x - 1 |

és

g (x) = x^{2}

hozzárendelésű függvények görbéjét az

y

tengely körül megforgatjuk, akkor két pohár belső felületét kapjuk. A koordinátarendszer egysége pontosan 1 cm. Adjuk meg a két pohár térfogatának különbségét.
A számolás során ‐ ha szükséges ‐ felhasználhatjuk, hogy az

[a; b]

-n értelmezett

f (x)

függvény grafikonjának az

x

tengely körüli megforgatásával kapott test térfogata:

\begin{matrix} π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x . \end{matrix}

(16 pont)

Megoldás. Ábrázoljuk az első poharat meghatározó

f (x) = 2 | x + 1 | + 2 | x - 1 |

hozzárendelésű függvényt a

[- 3; 3]

intervallumon.
Ha

x \in [- 3; - 1 [

, akkor

f (x) = - 2 x - 2 - 2 x + 2 = - 4 x

.
Ha

x \in [- 1; 1]

, akkor

f (x) = 2 x + 2 - 2 x + 2 = 4

.
Ha

x \in] 1; 3]

, akkor

f (x) = 2 x + 2 + 2 x - 2 = 4 x

.
Ezek alapján az 1. ábra mutatja az

f (x)

grafikonját.
A grafikon

y

tengely körüli megforgatásával csonkakúpot kapunk. Alapköreinek sugara:

r = 1

R = 3

, magassága:

m = 8

. Használjuk a csonkakúp térfogatképletét:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{π}{3} m (R^{2} + R r + r^{2}) = \frac{π}{3} \cdot 8 \cdot (9 + 3 + 1) = \frac{104 π}{3} \approx 108, 9 ({cm}^{3}) . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

A másik pohár (2. ábra) is forgástest alakú. Ha az

x

tengely körül megforgatjuk a

[0; 9]

intervallumon a

h (x) = \sqrt[]{x}

függvény görbéjét, akkor is ezt a testet kapjuk.
Használhatjuk a feladat szövegében megadott térfogatkiszámítási módot. Ennek a testnek a térfogata:

\begin{matrix} V_{2} = π \int_{0}^{9} {(\sqrt[]{x})}^{2} d x = π \int_{0}^{9} x d x = π {[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{9} = \frac{81 π}{2} \approx 127, 2 ({cm}^{3}) . \end{matrix}

Vagyis a második pohár térfogata 18,3 cm

^{3}

-rel nagyobb, mint az elsőé.