Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Sztranyák Attila 
Füzet: 2015/március, 130 - 131. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

 
1. A Bergengóc ötvösök kétféle fémből készítik ékszereiket.
A holdfém sűrűsége 5000 kg/m3, beszerzési ára 1000 ft/g (a ,,ft'' a Bergengóc fizetőeszköz, a fémtallér rövidítése).
A napfém sűrűsége 6000 kg/m3, beszerzési ára 2000 ft/g.
A fémekből kétféle ötvözetet készítenek. Az első ötvözet 1 cm3-éhez 0,6 cm3 holdfémet és 0,4 cm3 napfémet használnak fel, míg a második ötvözet 1 cm3-éhez 0,4 cm3 holdfémet és 0,6 cm3 napfémet használnak fel (az ötvözés során nem kell anyagveszteséggel számolni).
a) Mennyi a kétféle ötvözet grammonkénti anyagköltsége?
Az elkészült ékszerek árát úgy kalkulálják, hogy az ékszer grammban adott tömegét megszorozzák az adott ötvözet grammonkénti anyagköltségével, és erre tesznek még rá 20%-ot.
b) Mennyi annak az ötvösnek a haszna, aki a 6,3 grammos első ötvözetből álló nyakláncot tévedésből úgy adja el, mintha a második ötvözetből készült volna?  (11 pont)
 
2. Hány olyan (egybevágóságtól eltekintve) különböző téglalap van, melynek oldalai (cm-ben) egész számok, míg területe és kerülete (cm2-ben és cm-ben) 100-nál nem nagyobb négyzetszám?  (12 pont)
 
3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
a)log4(x+1)+log4(x+2)=log26,b)2x2-3x+1x2-3x+2-2x2-2x-12x2-7x+12=1.
 (14 pont)
 
4. Peti tíz egyforma 2 egység élű építőkockából tornyot épít. A torony alapja 4cm×4 cm-es négyzet, de az egyes részeinek más-más a magassága.
(A felülnézeti ábra azt mutatja, hogy egy-egy rész hány darab 2×2×2 cm-es kockából áll.)

 
 

Az ábrán látható P, Q, R pontok az egyes részek legmagasabban lévő építőkockáinak a felső lapján vannak. P az egyik négyzetlap csúcsa, míg Q és R a felső négyzetlapok megfelelő éleinek felezőpontjai.
a) Mekkora a (térbeli) PQR háromszög P-nél lévő szöge?
b) Peti 4 piros, 3 fehér, 2 zöld és 1 kék kockából építi meg a fenti tornyot.
Hányféle különböző felülnézeti ábra áll így elő? (A nem identikus egybevágósági transzformációval egymásba vihető ábrákat különbözőnek tekintjük.)  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. a) Igazoljuk, hogy a következő két sorozat konvergens, és közös a határértékük:
an=6n2-n-12n2+n+1,bn=n2+6n+12-n.

b) Igazoljuk, hogy a fenti an sorozat minden tagja kisebb a fenti bn sorozat valamennyi tagjánál.  (16 pont)
 
6. A térbeli derékszögű-koordináta-rendszerben felveszünk 3 piros pontot: A(1;0;0), B(2;0;0), és C(3;0;0), valamint 3 fehér pontot: D(0;1;0), E(0;2;0), és F(0;3;0), valamint 3 zöld pontot: G(0;0;1), H(0;0;2), és I(0;0;3).
a) Véletlenszerűen kiválasztunk a kilenc pont közül hármat úgy, hogy a kiválasztott pontok egy háromszög csúcsai legyenek. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kapott háromszögnek vannak azonos színű csúcsai?
b) A kilenc pont közül válasszunk ki úgy néhányat, hogy az általuk meghatározott test térfogata a lehető legnagyobb legyen. Mely csúcsokat válasszuk ki, és mekkora lesz ekkor a kérdéses térfogat?  (16 pont)
 
7. Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszerben a következő két kört:
k1:x2+4x+y2+y=2ésk2:x2-6x+y2-4y=12.

Mekkora annak a síkrésznek a területe, amelyet mind a két kör lefed?  (16 pont)
 
8. A p paraméter mely értékeire lesz a
px2-(p-1)x-34p+12=0

a) egyenletnek egy megoldása;
b) egyenletnek két megoldása, az egyik pozitív, a másik negatív;
c) egyenletnek gyöke a -3;
d) egyenlet gyökeinek az aránya 1:2?  (16 pont)
 
9. Kati ,,peches''-számai a 3-as és a 7-es.
Egy nap 1-től kezdve elkezdte felírni a pozitív egészeket, de azokat a számokat, amikben volt hármas, vagy hetes jegy kihagyta.
a) Milyen számjegyekből áll a Kati által felírt 2015-dik szám?
b) Hanyadik számként írta fel Kati a 2015-ös számot?  (16 pont)