Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Sztranyák Attila
Füzet:	2015/március, 130 - 131. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. A Bergengóc ötvösök kétféle fémből készítik ékszereiket. A holdfém sűrűsége 5000 kg/m${}^3$, beszerzési ára 1000 ft/g (a ,,ft'' a Bergengóc fizetőeszköz, a fémtallér rövidítése). A napfém sűrűsége 6000 kg/m${}^3$, beszerzési ára 2000 ft/g. A fémekből kétféle ötvözetet készítenek. Az első ötvözet 1 cm${}^3$-éhez 0,6 cm${}^3$ holdfémet és 0,4 cm${}^3$ napfémet használnak fel, míg a második ötvözet 1 cm${}^3$-éhez 0,4 cm${}^3$ holdfémet és 0,6 cm${}^3$ napfémet használnak fel (az ötvözés során nem kell anyagveszteséggel számolni). $a)$ Mennyi a kétféle ötvözet grammonkénti anyagköltsége? Az elkészült ékszerek árát úgy kalkulálják, hogy az ékszer grammban adott tömegét megszorozzák az adott ötvözet grammonkénti anyagköltségével, és erre tesznek még rá 20%-ot. $b)$ Mennyi annak az ötvösnek a haszna, aki a 6,3 grammos első ötvözetből álló nyakláncot tévedésből úgy adja el, mintha a második ötvözetből készült volna?  (11 pont)   2. Hány olyan (egybevágóságtól eltekintve) különböző téglalap van, melynek oldalai (cm-ben) egész számok, míg területe és kerülete (cm${}^2$-ben és cm-ben) 100-nál nem nagyobb négyzetszám?  (12 pont)   3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a)}& {\displaystyle \text{log}{}_4\left(x+1\right)+\text{log}{}_4\left(x+2\right)=\text{log}{}_2\sqrt[]{6}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b)}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{2x^2-3x+1}{x^2-3x+2}}-{\displaystyle \frac{2x^2-2x-12}{x^2-7x+12}}=1.}\hfill \end{array}}$  (14 pont)   4. Peti tíz egyforma 2 egység élű építőkockából tornyot épít. A torony alapja $4\text{cm<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>×</mo></math>4 cm}$-es négyzet, de az egyes részeinek más-más a magassága. (A felülnézeti ábra azt mutatja, hogy egy-egy rész hány darab $2\times 2\times 2$ cm-es kockából áll.)     Az ábrán látható $P$, $Q$, $R$ pontok az egyes részek legmagasabban lévő építőkockáinak a felső lapján vannak. $P$ az egyik négyzetlap csúcsa, míg $Q$ és $R$ a felső négyzetlapok megfelelő éleinek felezőpontjai. $a)$ Mekkora a (térbeli) $PQR$ háromszög $P$-nél lévő szöge? $b)$ Peti 4 piros, 3 fehér, 2 zöld és 1 kék kockából építi meg a fenti tornyot. Hányféle különböző felülnézeti ábra áll így elő? (A nem identikus egybevágósági transzformációval egymásba vihető ábrákat különbözőnek tekintjük.)  (14 pont)   II. rész     5. $a)$ Igazoljuk, hogy a következő két sorozat konvergens, és közös a határértékük: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\frac{6n^2-n-1}{2n^2+n+1}\mathrm{,}{b}_n=\sqrt[]{n^2+6n+12}-n\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Igazoljuk, hogy a fenti $a_n$ sorozat minden tagja kisebb a fenti $b_n$ sorozat valamennyi tagjánál.  (16 pont)   6. A térbeli derékszögű-koordináta-rendszerben felveszünk 3 piros pontot: $A\left(1;0;0\right)$, $B\left(2;0;0\right)$, és $C\left(3;0;0\right)$, valamint 3 fehér pontot: $D\left(0;1;0\right)$, $E\left(0;2;0\right)$, és $F\left(0;3;0\right)$, valamint 3 zöld pontot: $G\left(0;0;1\right)$, $H\left(0;0;2\right)$, és $I\left(0;0;3\right)$. $a)$ Véletlenszerűen kiválasztunk a kilenc pont közül hármat úgy, hogy a kiválasztott pontok egy háromszög csúcsai legyenek. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kapott háromszögnek vannak azonos színű csúcsai? $b)$ A kilenc pont közül válasszunk ki úgy néhányat, hogy az általuk meghatározott test térfogata a lehető legnagyobb legyen. Mely csúcsokat válasszuk ki, és mekkora lesz ekkor a kérdéses térfogat?  (16 pont)   7. Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszerben a következő két kört: $\begin{array}{c}{\displaystyle k_1:x^2+4x+y^2+y=2\text{és}{k}_2:x^2-6x+y^2-4y=12.}\end{array}$ Mekkora annak a síkrésznek a területe, amelyet mind a két kör lefed?  (16 pont)   8. A $p$ paraméter mely értékeire lesz a $\begin{array}{c}{\displaystyle p{x}^2-\left(p-1\right)x-\frac{3}{4}p+\frac{1}{2}=0}\end{array}$ $a)$ egyenletnek egy megoldása; $b)$ egyenletnek két megoldása, az egyik pozitív, a másik negatív; $c)$ egyenletnek gyöke a $-3$; $d)$ egyenlet gyökeinek az aránya $1:2$?  (16 pont)   9. Kati ,,peches''-számai a 3-as és a 7-es. Egy nap 1-től kezdve elkezdte felírni a pozitív egészeket, de azokat a számokat, amikben volt hármas, vagy hetes jegy kihagyta. $a)$ Milyen számjegyekből áll a Kati által felírt 2015-dik szám? $b)$ Hanyadik számként írta fel Kati a 2015-ös számot?  (16 pont)