A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. A Bergengóc ötvösök kétféle fémből készítik ékszereiket. A holdfém sűrűsége 5000 kg/m, beszerzési ára 1000 ft/g (a ,,ft'' a Bergengóc fizetőeszköz, a fémtallér rövidítése). A napfém sűrűsége 6000 kg/m, beszerzési ára 2000 ft/g. A fémekből kétféle ötvözetet készítenek. Az első ötvözet 1 cm-éhez 0,6 cm holdfémet és 0,4 cm napfémet használnak fel, míg a második ötvözet 1 cm-éhez 0,4 cm holdfémet és 0,6 cm napfémet használnak fel (az ötvözés során nem kell anyagveszteséggel számolni). Mennyi a kétféle ötvözet grammonkénti anyagköltsége? Az elkészült ékszerek árát úgy kalkulálják, hogy az ékszer grammban adott tömegét megszorozzák az adott ötvözet grammonkénti anyagköltségével, és erre tesznek még rá 20%-ot. Mennyi annak az ötvösnek a haszna, aki a 6,3 grammos első ötvözetből álló nyakláncot tévedésből úgy adja el, mintha a második ötvözetből készült volna? (11 pont)
2. Hány olyan (egybevágóságtól eltekintve) különböző téglalap van, melynek oldalai (cm-ben) egész számok, míg területe és kerülete (cm-ben és cm-ben) 100-nál nem nagyobb négyzetszám? (12 pont)
3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
(14 pont)
4. Peti tíz egyforma 2 egység élű építőkockából tornyot épít. A torony alapja -es négyzet, de az egyes részeinek más-más a magassága. (A felülnézeti ábra azt mutatja, hogy egy-egy rész hány darab 2×2×2 cm-es kockából áll.)
Az ábrán látható P, Q, R pontok az egyes részek legmagasabban lévő építőkockáinak a felső lapján vannak. P az egyik négyzetlap csúcsa, míg Q és R a felső négyzetlapok megfelelő éleinek felezőpontjai. a) Mekkora a (térbeli) PQR háromszög P-nél lévő szöge? b) Peti 4 piros, 3 fehér, 2 zöld és 1 kék kockából építi meg a fenti tornyot. Hányféle különböző felülnézeti ábra áll így elő? (A nem identikus egybevágósági transzformációval egymásba vihető ábrákat különbözőnek tekintjük.) (14 pont)
II. rész
5. a) Igazoljuk, hogy a következő két sorozat konvergens, és közös a határértékük: | an=6n2-n-12n2+n+1,bn=n2+6n+12-n. |
b) Igazoljuk, hogy a fenti an sorozat minden tagja kisebb a fenti bn sorozat valamennyi tagjánál. (16 pont)
6. A térbeli derékszögű-koordináta-rendszerben felveszünk 3 piros pontot: A(1;0;0), B(2;0;0), és C(3;0;0), valamint 3 fehér pontot: D(0;1;0), E(0;2;0), és F(0;3;0), valamint 3 zöld pontot: G(0;0;1), H(0;0;2), és I(0;0;3). a) Véletlenszerűen kiválasztunk a kilenc pont közül hármat úgy, hogy a kiválasztott pontok egy háromszög csúcsai legyenek. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kapott háromszögnek vannak azonos színű csúcsai? b) A kilenc pont közül válasszunk ki úgy néhányat, hogy az általuk meghatározott test térfogata a lehető legnagyobb legyen. Mely csúcsokat válasszuk ki, és mekkora lesz ekkor a kérdéses térfogat? (16 pont)
7. Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszerben a következő két kört:
| k1:x2+4x+y2+y=2ésk2:x2-6x+y2-4y=12. |
Mekkora annak a síkrésznek a területe, amelyet mind a két kör lefed? (16 pont)
8. A p paraméter mely értékeire lesz a a) egyenletnek egy megoldása; b) egyenletnek két megoldása, az egyik pozitív, a másik negatív; c) egyenletnek gyöke a -3; d) egyenlet gyökeinek az aránya 1:2? (16 pont)
9. Kati ,,peches''-számai a 3-as és a 7-es. Egy nap 1-től kezdve elkezdte felírni a pozitív egészeket, de azokat a számokat, amikben volt hármas, vagy hetes jegy kihagyta. a) Milyen számjegyekből áll a Kati által felírt 2015-dik szám? b) Hanyadik számként írta fel Kati a 2015-ös számot? (16 pont) |