Cím: Megoldásvázlatok a 2013/4. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2013/május, 272 - 279. oldal  PDF file

Megoldásvázlatok a 2013/4. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
 

I. rész
 

 
1. Az iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. Amikor 42 partit lejátszottak, akkor még mindenkinek négy volt hátra. Hányan szerepeltek ezen a bajnokságon?  (11 pont)
 
 
Megoldás.
 
Legyen a szereplők száma n. Az összes mérkőzések száma: n(n-1)2. Ha mindenkinek még 4 játék van hátra, az összesen 4n2 még lejátszandó partit jelent. Ezért a lejátszott mérkőzések száma:
n(n-1)2-4n2=42,
amiből az n2-5n-84=0 másodfokú egyenletet kapjuk. A gyökök: n1=12, n2=-7.
Vagyis 12 fő szerepelt a bajnokságon.
 
 
2. Ábrázoljuk a következő függvényeket:
a) az
 
f(x)=|x+2|+|x-1|
hozzárendeléssel megadottat a [-2;1] intervallumon;
b) a
 
g(x)=(tgx+ctgx)sinxcosx
hozzárendeléssel megadottat a [-π;π] intervallumon;
c) a
 
h(x)=log2013xlogx2014log20142013
hozzárendeléssel megadottat a ]0;3] intervallumon.  (13 pont)

 
Megoldás. a) A megadott [-2;1] intervallumon így írhatjuk az f függvény hozzárendelési szabályát:
f(x)=|x+2|+|x-1|=(x+2)-(x-1)=3.
Vagyis ezen az intervallumon a függvény konstans, a mellékelt ábrán látható a képe.
 
 

b) A g függvény hozzárendelési szabályát át tudjuk alakítani:
g(x)=(tgx+ctgx)sinxcosx=(sinxcosx+cosxsinx)sinxcosx=sin2x+cos2x=1.
A tgx és a ctgx miatt xkπ2, ahol k egész számot jelöl.
A megadott [-π;π] intervallumra esik a k=-1; 0; 1 esetén kapott érték, vagyis a g függvény nincs értelmezve a -π, 0 és π helyeken, egyébként a függvény konstans. A mellékelt ábrán látható a képe.
 
 

 
c) A logaritmus definíciója alapján tudjuk, hogy x pozitív valós szám, de nem egyenlő 1-gyel.
 
 
h függvény hozzárendelési szabályában minden logaritmust átírhatunk 2013-as alapra:
 

h(x)=log2013xlogx2014log20142013==log2013xlog20132014log2013xlog20132013log20132014=log20132013=1.

 
3. Oldjuk meg az egyenletet, ahol n tetszőleges, 1-nél nagyobb, pozitív egész szám:
x2+x-2+x2+2x-3+...+x2+nx-(n+1)=0.(13 pont)
 

 
Megoldás. Az egyenlet bal oldalán n tagú összeg szerepel, az összeg minden tagja nemnegatív valós szám. Nemnegatív valós számok összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik nulla.
A négyzetgyökök alatt álló másodfokú kifejezéseknek megkeressük külön-külön a zérushelyeit. Kezdjük az általános taggal, az x2+nx-(n+1)-gyel. Mivel a két zérushely összege -n, szorzata pedig -(n+1), azért a zérushelyek: x1=-(n+1), x2=1. Vagyis minden tetszőleges, 1-nél nagyobb, pozitív egész n szám esetén a másodfokú kifejezések egyik zérushelye az 1 lesz.
Ezek szerint az egyenlet egyedüli megoldása az 1.
 
4. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az A(-7;5) pont, továbbá az (x-2)2+(y-3)2=17 egyenletű kört az E(-2;2) pontban érinti.  (14 pont)
 
Megoldás. Az adott kör középpontjának koordinátái: K(2;3). A keresett kör középpontja rajta van az E(-2;2) és a K(2;3) pontokra illeszkedő egyenesen. Ennek az egyenesnek az irányvektora: EK(4;1), vagyis az egyenlete: x-4y=-10. A keresett körnek AE a húrja, ezért a kör középpontja illeszkedik az A(-7;5) és az E(-2;2) pontok által meghatározott húr felezőmerőlegesére is. A húr
 
felezőpontja: F(-92;72), a húrfelező egyenes normálvektora: AE(5;-3), vagyis az egyenlete: 5x-3y=-33.
A két egyenes metszéspontjának koordinátáit a következő egyenletrendszer megoldásával kapjuk:
x-4y=-105x-3y=-33}.
Vagyis a kör középpontjának koordinátái: C(-6;1).
A keresett kör sugarának hosszát is kiszámíthatjuk, az A(-7;5) és a C(-6;1) pontok távolságaként:
r=AC=(-7+6)2+(5-1)2=17.
A keresett kör egyenlete:
(x+6)2+(y-1)2=17.

 

II. rész
 

 
5. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapja 26 cm, a szárai 85 cm hosszúak. Legyen az AB alap felezőpontja F, a beírt körének a középpontja K, a köré írt körének a középpontja O, a súlypontja S, a magasságpontja M.
a) Mekkora az ASO háromszög kerülete?
b) Milyen hosszú az FK szakasz?
c) Mekkora az MF szakasz hossza, és mekkora szögben látszik az AC szár az M pontból?  (16 pont)

 
Megoldás. a) Az ASO háromszög OS oldalának hosszát az FO és az FS szakaszok különbségeként kapjuk. A feladatban szereplő F, K, O, S, M és C pontok egy egyenesre illeszkednek, a C csúcsból húzott magasságra, hiszen az ABC háromszög egyenlő szárú. Ennek a magasságnak a hosszát Pitagorasz-tétellel kiszámítjuk az ACF derékszögű háromszögből:
132+CF2=852,azazCF=84cm.  
Mivel a súlypont a súlyvonalon az oldalhoz közelebbi harmadolópont (és most CF súlyvonal), így FS=28 cm.
A háromszög köré írt köre az alap egyenesétől 84-r távolságra van, ahol r a körülírt kör sugara. Az AFO háromszögben Pitagorasz-tétellel (1. ábra):
132+(84-r)2=r2,132+842-284r=0,
ebből r=722516843,01(cm).
 

1.ábra

 

Vagyis
FO=84-7225168=688716840,99(cm).  
Ezek alapján:
OS=FO-FS=6887168-28=218316812,99(cm).  
AO=r, az AS szakasz hosszát az ASF derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel kapjuk:
132+282=AS2,azazAS=95330,87(cm).  
Tehát az ASO háromszög kerülete:
k=OS+AS+AO=12,99+30,87+43,01=86,87(cm).  

b) A beírt kör középpontja az alaptól ϱ távolságra van (ahol ϱ a beírt kör sugarának a hossza), ezért a beírt kör sugarát meghatározhatjuk az ABC háromszög területének kétféle felírásából: t=ϱs=cmc2, ahol s a háromszög kerületének a fele: s=285+262=98. Ekkor 98ϱ=1092, ebből
ϱ=109298=787.
Tehát a beírt kör középpontja az alap egyenesétől 787(11,14) cm-re van.

2.ábra

c) Használjuk a 2. ábra jelöléseit. Meghatározzuk a szárhoz tartozó AT magasság hosszát. Írjuk fel az ABC háromszög területének kétszeresét kétféleképpen:
2t=2684=85AT,AT=218485.
Az ATB derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel:
TB=262-(218485)2=11424485=33885.
Mivel AFMATB (a szögeik páronként egyenlők), azért a megfelelő oldalak aránya egyenlő:
MF13=33885218485,vagyisMF=169842,01(cm).  

Mivel a keresett CMA szög az AMF derékszögű háromszög M csúcsánál található külső szöge, azért meghatározzuk az M-nél lévő δ belső szöget:
tgδ=1316984=8413,δ81,2.
Vagyis a keresett CMA szög nagysága: 98,8.
 
 
6. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:
33x-1=2y3-11y-693x=log3(y+1)}.(16 pont)

 
Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: x tetszőleges, y>-1 egész szám. A második egyenlet szerint: 3x-1=y. Ekkor:
33x-1=(3x)33=(y+1)33,
Ezt az első egyenletbe beírva:
(y+1)33=2y3-11y-693.0=5y3-3y2-36y-2080.
Tudjuk, hogy y olyan nemnegatív egész szám, hogy egy háromhatványnál 1-gyel kisebb.
Írjuk a harmadfokú egyenletet a következő alakban: 2080=y(5y2-3y-36). A zárójelben szereplő tényező egész szám, ezért y a 2080 osztója kell, hogy legyen.
A fentieket felhasználva y lehetséges értékei: 2, 8, 26, 80. Ezeket behelyettesítve a harmadfokú egyenletbe kapjuk, hogy csak az y=8 a gyöke.
Visszahelyettesítéssel: x=2. Vagyis az egyenletrendszer egyedüli megoldása: x=2, y=8.
 
Megjegyzés. Az y=8 ismeretében a harmadfokú egyenletet
0=(y-8)(5y2+37y+260)
alakra tudjuk hozni. Így is látható, hogy csak egy megoldása lesz az egyenletrendszernek (hiszen a másodfokú kifejezés diszkriminánsa negatív).
 
 
7. a) Határozzuk meg az
f(x)=x2-10x+27
függvény integrálját a [3;6] intervallumon.
b) Mennyivel kell a megadott intervallumot eltolni, hogy az integrál 18 legyen?
  (16 pont)

 
Megoldás. a)
36(x2-10x+27)dx=[x33-5x2+27x]36=72-180+162-9+45-81=9.

b) Legyen az eltolás nagysága negatív irányba d. Ekkor a következő integrált írhatjuk fel:
3-d6-d(x2-10x+27)dx=[x33-5x2+27x]3-d6-d==(6-d)33-5(6-d)2+27(6-d)-(3-d)33+5(3-d)2-27(3-d)==3d2+3d+9=18.
Vagyis a d2+d-3=0 másodfokú egyenlet megoldásait kell megadnunk:
d1;2=-1±1+122.
Tehát az intervallumot eltolhatjuk d1=-1+1321,3, illetve d2=-1-132-2,3 egységgel.
 
Megjegyzés. Az a) kérdésre adott válaszunk alapján látható, hogy a b) kérdésben az fogalmazódott meg, hogy az integrál értéke duplázódjon meg az eltolás hatására. A kérdésben természetesen azért szerepel 18, mert az első kérdésre rosszul válaszolók így erre a kérdésre jó választ adhatnak.
 
 
8. Adott a következő számsokaság: 1, 1, 2, 4, 8, 8, 8, 9, 13.
a) Igazoljuk a fenti számsokaság esetén, hogy a számtani közepénél kisebb számok tőle számított távolságainak az összeg ugyanakkora, mint a nála nagyobb számok tőle számított távolságainak az összege.
b) Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított abszolút távolságainak összege minimális.
c) Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított távolságainak négyzetösszege minimális.  (16 pont)

 
Megoldás. a) A számsokaság számtani közepe:
x¯=1+1+2+4+8+8+8+9+139=6.
A számtani középnél kisebb számok tőle számított távolságainak összege:
(6-1)+(6-1)+(6-2)+(6-4)=16.
A számtani középnél nagyobb számok tőle számított távolságainak összege:
(8-6)+(8-6)+(8-6)+(9-6)+(13-6)=16.
Vagyis a két összeg valóban ugyanakkora.
b) A szöveg alapján azt az x számot keressük, amelyre a következő összeg minimális:
f(x)=|1-x|+|1-x|+|2-x|+|4-x|+|8-x|+|8-x|+|8-x|+|9-x|+|13-x|.
Nézzük először az f1(x)=|1-x|+|13-x| hozzárendelésű függvényt.
  Ha  x<1,    akkor  f1(x)=1-x+13-x=-2x+14.  Ha  1x13,    akkor  f1(x)=-1+x+13-x=12.  Ha  13<x,    akkor  f1(x)=-1+x-13+x=2x-14.  

Ezek alapján elkészíthetjük az f1 képét. Az f1 minimumhelyeinek halmaza: [1;13].
Hasonlóan tudjuk ábrázolni közös koordinátarendszerben az
 

f2(x)=|1-x|+|9-x|,f3(x)=|2-x|+|8-x|,f4(x)=|4-x|+|8-x|
hozzárendeléssel adott függvényeket, végezetül pedig az
f5(x)=|8-x|
hozzárendeléssel adott függvényt is.
Az f2 minimumhelyeinek halmaza: [1;9].
Az f3 minimumhelyeinek halmaza: [2;8].
Az f4 minimumhelyeinek halmaza: [4;8].
Az f5 minimumhelyének halmaza: {8}.
 
 

Mivel
f(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)+f5(x),és[1;13][1;9][2;8][4;8]{8},
azért a keresett minimumhely a 8. A keresés során az is kiderült, hogy a kapott szám pontosan a számsokaság mediánja.
c) A szöveg alapján azt az x számot keressük, amelyre a következő összeg minimális:
f(x)=(1-x)2+(1-x)2+(2-x)2+(4-x)2+(8-x)2+(8-x)2+(8-x)2++(9-x)2+(13-x)2.
Ezt a következő alakban is írhatjuk:
f(x)=9x2-2(1+1+2+4+8+8+8+9+13)x++(12+12+22+42+82+82+82+92+132).
 
Tudjuk, hogy az f(x)=ax2+bx+c (ahol a>0) hozzárendeléssel megadott másodfokú függvény minimumhelye: x=-b2a. Jelen esetben:
x=--2(1+1+2+4+8+8+8+9+13)29=1+1+2+4+8+8+8+9+139=6.
Vagyis a keresett minimumhely a 6.
A keresés során az is kiderült, hogy a kapott szám pontosan a számsokaság számtani közepe.
 
 
9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a
4sin2x-4sin2xcos2x+1sin2x
kifejezés minimális. Mennyi ez a legkisebb érték?  (16 pont)

 
Megoldás. Hegyesszögek esetén a kifejezés értelmezve van. Alakítsuk a kifejezést a következő módon:
4sin2x-4sin2xcos2x+1sin2x=4-4cos2x+1sin2x=4sin2x+1sin2x.
A 4sin2x és az 1sin2x minden hegyesszög esetén pozitív valós szám.
Ismerjük két pozitív valós számra a mértani és a számtani közép közötti összefüggést: aba+b2. Egyenlőség a=b esetén van. Alkalmazzuk ezt az a=4sin2x és a b=1sin2x értékekre:
4sin2x1sin2x4sin2x+1sin2x2,
amit így írhatunk:
24sin2x1sin2x=224sin2x+1sin2x.
Tehát a minimális érték 4, ami
4sin2x=1sin2x
esetén lép fel. Ekkor 4sin4x=1, vagyis sinx=±1. Mivel x hegyesszög, azért x=π4.
 
Megjegyzés. A 2(2sin2x+12sin2x) egy pozitív szám és reciprokának összegének a kétszerese, ami akkor minimális, ha a szám 1.