Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok a 2013/4. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2013/május, 272 - 279. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásvázlatok a 2013/4. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz

I. rész

1. Az iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. Amikor

42

partit lejátszottak, akkor még mindenkinek négy volt hátra. Hányan szerepeltek ezen a bajnokságon? (11 pont)

Megoldás.

Legyen a szereplők száma

n

. Az összes mérkőzések száma:

\frac{n (n - 1)}{2}

. Ha mindenkinek még 4 játék van hátra, az összesen

\frac{4 n}{2}

még lejátszandó partit jelent. Ezért a lejátszott mérkőzések száma:

\begin{matrix} \frac{n (n - 1)}{2} - \frac{4 n}{2} = 42, \end{matrix}

amiből az

n^{2} - 5 n - 84 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk. A gyökök:

n_{1} = 12

n_{2} = - 7

.
Vagyis 12 fő szerepelt a bajnokságon.

2. Ábrázoljuk a következő függvényeket:

a)

\begin{matrix} f (x) = | x + 2 | + | x - 1 | \end{matrix}

hozzárendeléssel megadottat a

[- 2; 1]

intervallumon;

b)

\begin{matrix} g (x) = (tg x + ctg x) sin x cos x \end{matrix}

hozzárendeléssel megadottat a

[- π; π]

intervallumon;

c)

\begin{matrix} h (x) = log_{2013} x \cdot log_{x} 2014 \cdot log_{2014} 2013 \end{matrix}

hozzárendeléssel megadottat a

] 0; 3]

intervallumon. (13 pont)

Megoldás.

a)

A megadott

[- 2; 1]

intervallumon így írhatjuk az

f

függvény hozzárendelési szabályát:

\begin{matrix} f (x) = | x + 2 | + | x - 1 | = (x + 2) - (x - 1) = 3. \end{matrix}

Vagyis ezen az intervallumon a függvény konstans, a mellékelt ábrán látható a képe.

b)

g

függvény hozzárendelési szabályát át tudjuk alakítani:

\begin{matrix} g (x) = (tg x + ctg x) sin x cos x = (\frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x}) sin x cos x = sin^{2} x + cos^{2} x = 1. \end{matrix}

tg x

és a

ctg x

miatt

x \neq \frac{k π}{2}

, ahol

k

egész számot jelöl.
A megadott

[- π; π]

intervallumra esik a

k = - 1

; 0; 1 esetén kapott érték, vagyis a

g

függvény nincs értelmezve a

- π

0

és

π

helyeken, egyébként a függvény konstans. A mellékelt ábrán látható a képe.

c)

A logaritmus definíciója alapján tudjuk, hogy

x

pozitív valós szám, de nem egyenlő 1-gyel.

h

függvény hozzárendelési szabályában minden logaritmust átírhatunk 2013-as alapra:

\begin{matrix} h (x) & = log_{2013} x \cdot log_{x} 2014 \cdot log_{2014} 2013 = \\ = log_{2013} x \cdot \frac{log_{2013} 2014}{log_{2013} x} \cdot \frac{log_{2013} 2013}{log_{2013} 2014} = log_{2013} 2013 = 1. \end{matrix}

3. Oldjuk meg az egyenletet, ahol

n

tetszőleges,

1

-nél nagyobb, pozitív egész szám:

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} + x - 2} + \sqrt[]{x^{2} + 2 x - 3} + ... + \sqrt[]{x^{2} + n x - (n + 1)} = 0. \end{matrix}

(13 pont)

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán

n

tagú összeg szerepel, az összeg minden tagja nemnegatív valós szám. Nemnegatív valós számok összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik nulla.
A négyzetgyökök alatt álló másodfokú kifejezéseknek megkeressük külön-külön a zérushelyeit. Kezdjük az általános taggal, az

x^{2} + n x - (n + 1)

-gyel. Mivel a két zérushely összege

- n

, szorzata pedig

- (n + 1)

, azért a zérushelyek:

x_{1} = - (n + 1)

x_{2} = 1

. Vagyis minden tetszőleges, 1-nél nagyobb, pozitív egész

n

szám esetén a másodfokú kifejezések egyik zérushelye az 1 lesz.
Ezek szerint az egyenlet egyedüli megoldása az 1.

4. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az

A (- 7; 5)

pont, továbbá az

{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 17

egyenletű kört az

E (- 2; 2)

pontban érinti. (14 pont)

Megoldás. Az adott kör középpontjának koordinátái:

K (2; 3)

. A keresett kör középpontja rajta van az

E (- 2; 2)

és a

K (2; 3)

pontokra illeszkedő egyenesen. Ennek az egyenesnek az irányvektora:

\vec{E K} (4; 1)

, vagyis az egyenlete:

x - 4 y = - 10

. A keresett körnek

A E

a húrja, ezért a kör középpontja illeszkedik az

A (- 7; 5)

és az

E (- 2; 2)

pontok által meghatározott húr felezőmerőlegesére is. A húr

felezőpontja:

F (- \frac{9}{2}; \frac{7}{2})

, a húrfelező egyenes normálvektora:

\vec{A E} (5; - 3)

, vagyis az egyenlete:

5 x - 3 y = - 33

.
A két egyenes metszéspontjának koordinátáit a következő egyenletrendszer megoldásával kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} x - 4 y & = - 10 \\ 5 x - 3 y & = - 33 \end{matrix}} . \end{matrix}

Vagyis a kör középpontjának koordinátái:

C (- 6; 1)

.
A keresett kör sugarának hosszát is kiszámíthatjuk, az

A (- 7; 5)

és a

C (- 6; 1)

pontok távolságaként:

\begin{matrix} r = A C = \sqrt[]{{(- 7 + 6)}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} = \sqrt[]{17} . \end{matrix}

A keresett kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 17. \end{matrix}

II. rész

5. Az

A B C

egyenlő szárú háromszög

A B

alapja 26 cm, a szárai 85 cm hosszúak. Legyen az

A B

alap felezőpontja

F

, a beírt körének a középpontja

K

, a köré írt körének a középpontja

O

, a súlypontja

S

, a magasságpontja

M

a)

Mekkora az

A S O

háromszög kerülete?

b)

Milyen hosszú az

F K

szakasz?

c)

Mekkora az

M F

szakasz hossza, és mekkora szögben látszik az

A C

szár az

M

pontból? (16 pont)

Megoldás.

a)

A S O

háromszög

O S

oldalának hosszát az

F O

és az

F S

szakaszok különbségeként kapjuk. A feladatban szereplő

F

K

O

S

M

és

C

pontok egy egyenesre illeszkednek, a

C

csúcsból húzott magasságra, hiszen az

A B C

háromszög egyenlő szárú. Ennek a magasságnak a hosszát Pitagorasz-tétellel kiszámítjuk az

A C F

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} 13^{2} + C F^{2} = 85^{2}, azaz C F = 84 cm. \end{matrix}

Mivel a súlypont a súlyvonalon az oldalhoz közelebbi harmadolópont (és most

C F

súlyvonal), így

F S = 28

cm.
A háromszög köré írt köre az alap egyenesétől

84 - r

távolságra van, ahol

r

a körülírt kör sugara. Az

A F O

háromszögben Pitagorasz-tétellel (1. ábra):

\begin{matrix} 13^{2} + {(84 - r)}^{2} & = r^{2}, \\ 13^{2} + 84^{2} - 2 \cdot 84 r & = 0, \end{matrix}

ebből

r = \frac{7225}{168} \approx 43, 01 (cm)

1.ábra

Vagyis

\begin{matrix} F O = 84 - \frac{7225}{168} = \frac{6887}{168} \approx 40, 99 (cm). \end{matrix}

Ezek alapján:

\begin{matrix} O S = F O - F S = \frac{6887}{168} - 28 = \frac{2183}{168} \approx 12, 99 (cm). \end{matrix}

A O = r

, az

A S

szakasz hosszát az

A S F

derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel kapjuk:

\begin{matrix} 13^{2} + 28^{2} = A S^{2}, azaz A S = \sqrt[]{953} \approx 30, 87 (cm). \end{matrix}

Tehát az

A S O

háromszög kerülete:

\begin{matrix} k = O S + A S + A O = 12, 99 + 30, 87 + 43, 01 = 86, 87 (cm). \end{matrix}

b)

A beírt kör középpontja az alaptól

ϱ

távolságra van (ahol

ϱ

a beírt kör sugarának a hossza), ezért a beírt kör sugarát meghatározhatjuk az

A B C

háromszög területének kétféle felírásából:

t = ϱ s = \frac{c \cdot m_{c}}{2}

, ahol

s

a háromszög kerületének a fele:

s = \frac{2 \cdot 85 + 26}{2} = 98

. Ekkor

98 ϱ = 1092

, ebből

\begin{matrix} ϱ = \frac{1092}{98} = \frac{78}{7} . \end{matrix}

Tehát a beírt kör középpontja az alap egyenesétől

\frac{78}{7} (\approx 11, 14)

cm-re van.

2.ábra

c)

Használjuk a 2. ábra jelöléseit. Meghatározzuk a szárhoz tartozó

A T

magasság hosszát. Írjuk fel az

A B C

háromszög területének kétszeresét kétféleképpen:

\begin{matrix} 2 \cdot t = 26 \cdot 84 = 85 \cdot A T, A T = \frac{2184}{85} . \end{matrix}

A T B

derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel:

\begin{matrix} T B = \sqrt[]{26^{2} - {(\frac{2184}{85})}^{2}} = \frac{\sqrt[]{114 244}}{85} = \frac{338}{85} . \end{matrix}

Mivel

A F M ▵ \sim A T B ▵

(a szögeik páronként egyenlők), azért a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

\begin{matrix} \frac{M F}{13} = \frac{\frac{338}{85}}{\frac{2184}{85}}, vagyis M F = \frac{169}{84} \approx 2, 01 (cm). \end{matrix}

Mivel a keresett

C M A

szög az

A M F

derékszögű háromszög

M

csúcsánál található külső szöge, azért meghatározzuk az

M

-nél lévő

δ

belső szöget:

\begin{matrix} tg δ = \frac{13}{\frac{169}{84}} = \frac{84}{13}, δ \approx 81, 2^{\circ} . \end{matrix}

Vagyis a keresett

C M A

szög nagysága:

98, 8^{\circ}

6. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:

\begin{matrix} \begin{matrix} 3^{3 x - 1} & = 2 y^{3} - 11 y - 693 \\ x & = log_{3} (y + 1) \end{matrix}} . \end{matrix}

(16 pont)

Megoldás. A feladat értelmezési tartománya:

x

tetszőleges,

y > - 1

egész szám. A második egyenlet szerint:

3^{x} - 1 = y

. Ekkor:

\begin{matrix} 3^{3 x - 1} = \frac{{(3^{x})}^{3}}{3} = \frac{{(y + 1)}^{3}}{3}, \end{matrix}

Ezt az első egyenletbe beírva:

\begin{matrix} \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 2 y^{3} - 11 y - 693. 0 = 5 y^{3} - 3 y^{2} - 36 y - 2080. \end{matrix}

Tudjuk, hogy

y

olyan nemnegatív egész szám, hogy egy háromhatványnál 1-gyel kisebb.
Írjuk a harmadfokú egyenletet a következő alakban:

2080 = y (5 y^{2} - 3 y - 36)

. A zárójelben szereplő tényező egész szám, ezért

y

a 2080 osztója kell, hogy legyen.
A fentieket felhasználva

y

lehetséges értékei: 2, 8, 26, 80. Ezeket behelyettesítve a harmadfokú egyenletbe kapjuk, hogy csak az

y = 8

a gyöke.
Visszahelyettesítéssel:

x = 2

. Vagyis az egyenletrendszer egyedüli megoldása:

x = 2

y = 8

Megjegyzés. Az

y = 8

ismeretében a harmadfokú egyenletet

\begin{matrix} 0 = (y - 8) (5 y^{2} + 37 y + 260) \end{matrix}

alakra tudjuk hozni. Így is látható, hogy csak egy megoldása lesz az egyenletrendszernek (hiszen a másodfokú kifejezés diszkriminánsa negatív).

a)

Határozzuk meg az

\begin{matrix} f (x) = x^{2} - 10 x + 27 \end{matrix}

függvény integrálját a

[3; 6]

intervallumon.

b)

Mennyivel kell a megadott intervallumot eltolni, hogy az integrál

18

legyen?

\begin{matrix}  \end{matrix}

(16 pont)

Megoldás.

a)

\begin{matrix} \int_{3}^{6} (x^{2} - 10 x + 27) d x = {[\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 27 x]}_{3}^{6} = 72 - 180 + 162 - 9 + 45 - 81 = 9. \end{matrix}

b)

Legyen az eltolás nagysága negatív irányba

d

. Ekkor a következő integrált írhatjuk fel:

\begin{matrix} \int_{3 - d}^{6 - d} (x^{2} - 10 x + 27) d x = {[\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 27 x]}_{3 - d}^{6 - d} = \\ = \frac{{(6 - d)}^{3}}{3} - 5 {(6 - d)}^{2} + 27 (6 - d) - \frac{{(3 - d)}^{3}}{3} + 5 {(3 - d)}^{2} - 27 (3 - d) = \\ = 3 d^{2} + 3 d + 9 = 18. \end{matrix}

Vagyis a

d^{2} + d - 3 = 0

másodfokú egyenlet megoldásait kell megadnunk:

\begin{matrix} d_{1; 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{1 + 12}}{2} . \end{matrix}

Tehát az intervallumot eltolhatjuk

d_{1} = \frac{- 1 + \sqrt[]{13}}{2} \approx 1, 3

, illetve

d_{2} = \frac{- 1 - \sqrt[]{13}}{2} \approx - 2, 3

egységgel.

Megjegyzés. Az

a)

kérdésre adott válaszunk alapján látható, hogy a

b)

kérdésben az fogalmazódott meg, hogy az integrál értéke duplázódjon meg az eltolás hatására. A kérdésben természetesen azért szerepel 18, mert az első kérdésre rosszul válaszolók így erre a kérdésre jó választ adhatnak.

8. Adott a következő számsokaság: 1, 1, 2, 4, 8, 8, 8, 9, 13.

a)

Igazoljuk a fenti számsokaság esetén, hogy a számtani közepénél kisebb számok tőle számított távolságainak az összeg ugyanakkora, mint a nála nagyobb számok tőle számított távolságainak az összege.

b)

Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított abszolút távolságainak összege minimális.

c)

Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított távolságainak négyzetösszege minimális. (16 pont)

Megoldás.

a)

A számsokaság számtani közepe:

\begin{matrix} \bar{x} = \frac{1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 9 + 13}{9} = 6. \end{matrix}

A számtani középnél kisebb számok tőle számított távolságainak összege:

\begin{matrix} (6 - 1) + (6 - 1) + (6 - 2) + (6 - 4) = 16. \end{matrix}

A számtani középnél nagyobb számok tőle számított távolságainak összege:

\begin{matrix} (8 - 6) + (8 - 6) + (8 - 6) + (9 - 6) + (13 - 6) = 16. \end{matrix}

Vagyis a két összeg valóban ugyanakkora.

b)

A szöveg alapján azt az

x

számot keressük, amelyre a következő összeg minimális:

\begin{matrix} f (x) = | 1 - x | + | 1 - x | + | 2 - x | + | 4 - x | + | 8 - x | + | 8 - x | + | 8 - x | + | 9 - x | + | 13 - x | . \end{matrix}

Nézzük először az

f_{1} (x) = | 1 - x | + | 13 - x |

hozzárendelésű függvényt.

\begin{matrix} Hax < 1, & akkorf_{1} (x) = 1 - x + 13 - x = - 2 x + 14. \\ Ha1 \leq x \leq 13, & akkorf_{1} (x) = - 1 + x + 13 - x = 12. \\ Ha13 < x, & akkorf_{1} (x) = - 1 + x - 13 + x = 2 x - 14. \end{matrix}

Ezek alapján elkészíthetjük az

f_{1}

képét. Az

f_{1}

minimumhelyeinek halmaza:

[1; 13]

.
Hasonlóan tudjuk ábrázolni közös koordinátarendszerben az

\begin{matrix} f_{2} (x) & = | 1 - x | + | 9 - x |, \\ f_{3} (x) & = | 2 - x | + | 8 - x |, \\ f_{4} (x) & = | 4 - x | + | 8 - x | \end{matrix}

hozzárendeléssel adott függvényeket, végezetül pedig az

\begin{matrix} f_{5} (x) = | 8 - x | \end{matrix}

hozzárendeléssel adott függvényt is.
Az

f_{2}

minimumhelyeinek halmaza:

[1; 9]

.
Az

f_{3}

minimumhelyeinek halmaza:

[2; 8]

.
Az

f_{4}

minimumhelyeinek halmaza:

[4; 8]

.
Az

f_{5}

minimumhelyének halmaza:

{8}

Mivel

\begin{matrix} f (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x) + f_{3} (x) + f_{4} (x) + f_{5} (x), és [1; 13] \supset [1; 9] \supset [2; 8] \supset [4; 8] \supset {8}, \end{matrix}

azért a keresett minimumhely a 8. A keresés során az is kiderült, hogy a kapott szám pontosan a számsokaság mediánja.

c)

A szöveg alapján azt az

x

számot keressük, amelyre a következő összeg minimális:

\begin{matrix} f (x) & = & {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{2} + {(2 - x)}^{2} + {(4 - x)}^{2} + {(8 - x)}^{2} + {(8 - x)}^{2} + {(8 - x)}^{2} + \\ + {(9 - x)}^{2} + {(13 - x)}^{2} . \end{matrix}

Ezt a következő alakban is írhatjuk:

\begin{matrix} f (x) & = & 9 x^{2} - 2 (1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 9 + 13) x + \\ + (1^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 8^{2} + 8^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 13^{2}) . \end{matrix}

Tudjuk, hogy az

f (x) = a x^{2} + b x + c

(ahol

a > 0

) hozzárendeléssel megadott másodfokú függvény minimumhelye:

x = - \frac{b}{2 a}

. Jelen esetben:

\begin{matrix} x = - \frac{- 2 (1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 9 + 13)}{2 \cdot 9} = \frac{1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 9 + 13}{9} = 6. \end{matrix}

Vagyis a keresett minimumhely a 6.
A keresés során az is kiderült, hogy a kapott szám pontosan a számsokaság számtani közepe.

9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a

\begin{matrix} \frac{4 sin^{2} x - 4 sin^{2} x cos^{2} x + 1}{sin^{2} x} \end{matrix}

kifejezés minimális. Mennyi ez a legkisebb érték? (16 pont)

Megoldás. Hegyesszögek esetén a kifejezés értelmezve van. Alakítsuk a kifejezést a következő módon:

\begin{matrix} \frac{4 sin^{2} x - 4 sin^{2} x cos^{2} x + 1}{sin^{2} x} = 4 - 4 cos^{2} x + \frac{1}{sin^{2} x} = 4 sin^{2} x + \frac{1}{sin^{2} x} . \end{matrix}

4 sin^{2} x

és az

\frac{1}{sin^{2} x}

minden hegyesszög esetén pozitív valós szám.
Ismerjük két pozitív valós számra a mértani és a számtani közép közötti összefüggést:

\sqrt[]{a b} \leq \frac{a + b}{2}

. Egyenlőség

a = b

esetén van. Alkalmazzuk ezt az

a = 4 sin^{2} x

és a

b = \frac{1}{sin^{2} x}

értékekre:

\begin{matrix} \sqrt[]{4 sin^{2} x \cdot \frac{1}{sin^{2} x}} \leq \frac{4 sin^{2} x + \frac{1}{sin^{2} x}}{2}, \end{matrix}

amit így írhatunk:

\begin{matrix} 2 \cdot \sqrt[]{4 sin^{2} x \cdot \frac{1}{sin^{2} x}} = 2 \cdot 2 \leq 4 sin^{2} x + \frac{1}{sin^{2} x} . \end{matrix}

Tehát a minimális érték 4, ami

\begin{matrix} 4 sin^{2} x = \frac{1}{sin^{2} x} \end{matrix}

esetén lép fel. Ekkor

4 sin^{4} x = 1

, vagyis

sin x = \pm 1

. Mivel

x

hegyesszög, azért

x = \frac{π}{4}

Megjegyzés. A

2 (2 sin^{2} x + \frac{1}{2 sin^{2} x})

egy pozitív szám és reciprokának összegének a kétszerese, ami akkor minimális, ha a szám 1.