Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2013/április, 208 - 209. oldal  PDF file

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

Számadó László
 

I. rész
 

 
1. Az iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. Amikor 42 partit lejátszottak, akkor még mindenkinek négy volt hátra. Hányan szerepeltek ezen a bajnokságon?  (11 pont)
 
2. Ábrázoljuk a következő függvényeket:
a) az
f(x)=|x+2|+|x-1|
hozzárendeléssel megadottat a [-2;1] intervallumon;
b) a
g(x)=(tgx+ctgx)sinxcosx
hozzárendeléssel megadottat a [-π;π] intervallumon;
c) a
h(x)=log2013xlogx2014log20142013
hozzárendeléssel megadottat a ]0;3] intervallumon.  (13 pont)
 
3. Oldjuk meg az egyenletet, ahol n tetszőleges, 1-nél nagyobb, pozitív egész szám:
x2+x-2+x2+2x-3+...+x2+nx-(n+1)=0.(13 pont)
 

 
4. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az A(-7;5) pont, továbbá az (x-2)2+(y-3)2=17 egyenletű kört az E(-2;2) pontban érinti.
  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapja 26 cm, a szárai 85 cm hosszúak. Legyen az AB alap felezőpontja F, a beírt körének a középpontja K, a köré írt körének a középpontja O, a súlypontja S, a magasságpontja M.
a) Mekkora az ASO háromszög kerülete?
b) Milyen hosszú az FK szakasz?
c) Mekkora az MF szakasz hossza, és mekkora szögben látszik az AC szár az M pontból?  (16 pont)
 
6. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:
33x-1=2y3-11y-693x=log3(y+1)}.(16 pont)

 
7. a) Határozzuk meg az
f(x)=x2-10x+27
függvény integrálját a [3;6] intervallumon.
b) Mennyivel kell a megadott intervallumot eltolni, hogy az integrál 18 legyen?
  (16 pont)
 
8. Adott a következő számsokaság: 1, 1, 2, 4, 8, 8, 8, 9, 13.
a) Igazoljuk a fenti számsokaság esetén, hogy a számtani közepénél kisebb számok tőle számított távolságainak az összeg ugyanakkora, mint a nála nagyobb számok tőle számított távolságainak az összege.
b) Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított abszolút távolságainak összege minimális.
c) Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított távolságainak négyzetösszege minimális.  (16 pont)
 
9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a
4sin2x-4sin2xcos2x+1sin2x
kifejezés minimális. Mennyi ez a legkisebb érték?  (16 pont)