Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2013/április, 208 - 209. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   Számadó László   I. rész     1. Az iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. Amikor 42 partit lejátszottak, akkor még mindenkinek négy volt hátra. Hányan szerepeltek ezen a bajnokságon?  (11 pont)   2. Ábrázoljuk a következő függvényeket: $a)$ az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=|x+2|+|x-1|}\end{array}$ hozzárendeléssel megadottat a $\left[-2;1\right]$ intervallumon; $b)$ a $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(x\right)=\left(\text{tg}x+\text{ctg}x\right)\text{sin}x\text{cos}x}\end{array}$ hozzárendeléssel megadottat a $\left[-\pi ;\pi \right]$ intervallumon; $c)$ a $\begin{array}{c}{\displaystyle h\left(x\right)=\text{log}{}_{2013}x\cdot \text{log}{}_{x}2014\cdot \text{log}{}_{2014}2013}\end{array}$ hozzárendeléssel megadottat a $\left]0;3\right]$ intervallumon.  (13 pont)   3. Oldjuk meg az egyenletet, ahol $n$ tetszőleges, 1-nél nagyobb, pozitív egész szám: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2+x-2}+\sqrt[]{x^2+2x-3}+\text{...}+\sqrt[]{x^2+nx-\left(n+1\right)}=0.}\end{array}$ (13 pont)     4. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az $A\left(-7;5\right)$ pont, továbbá az ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=17$ egyenletű kört az $E\left(-2;2\right)$ pontban érinti. $\begin{array}{c}\end{array}$ (14 pont)   II. rész     5. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög $AB$ alapja 26 cm, a szárai 85 cm hosszúak. Legyen az $AB$ alap felezőpontja $F$, a beírt körének a középpontja $K$, a köré írt körének a középpontja $O$, a súlypontja $S$, a magasságpontja $M$. $a)$ Mekkora az $ASO$ háromszög kerülete? $b)$ Milyen hosszú az $FK$ szakasz? $c)$ Mekkora az $MF$ szakasz hossza, és mekkora szögben látszik az $AC$ szár az $M$ pontból?  (16 pont)   6. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3^{3x-1}}& {\displaystyle =2y^3-11y-693}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x}& {\displaystyle =\text{log}{}_3\left(y+1\right)}\hfill \end{array}}\}\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   7. $a)$ Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=x^2-10x+27}\end{array}$ függvény integrálját a $\left[3;6\right]$ intervallumon. $b)$ Mennyivel kell a megadott intervallumot eltolni, hogy az integrál 18 legyen? $\begin{array}{c}\end{array}$ (16 pont)   8. Adott a következő számsokaság: 1, 1, 2, 4, 8, 8, 8, 9, 13. $a)$ Igazoljuk a fenti számsokaság esetén, hogy a számtani közepénél kisebb számok tőle számított távolságainak az összeg ugyanakkora, mint a nála nagyobb számok tőle számított távolságainak az összege. $b)$ Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított abszolút távolságainak összege minimális. $c)$ Adjuk meg a fenti számsokasághoz azt a középértéket, amelyhez a számadatok tőle számított távolságainak négyzetösszege minimális.  (16 pont)   9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4\text{sin}{}^{2}x-4\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x+1}{\text{sin}{}^{2}x}}\end{array}$ kifejezés minimális. Mennyi ez a legkisebb érték?  (16 pont)