Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Gedeon Veronika 
Füzet: 2012/október, 406 - 407. oldal  PDF file

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

I. rész
 
 
1. Melyik az a három természetes szám, melyek egy számtani sorozat egymást követő elemei, négyzetösszegük 264, valamint a szorzatuk egyenlő 1792 és a középső szám hányadosával?  (10 pont)
 
 
2. Mekkora annak az érintőtrapéznak a területe, amelynek egyik szára a 7 cm hosszú párhuzamos oldallal 120 fokos szöget zár be, valamint beírt körének sugara 5 cm?  (13 pont)
 

 
3. Az ábrán egy egység oldalú négyzet, annak beírt köre, oldalfelező pontjai által meghatározott négyzet és annak is a beírt köre látható.
a) Hány százalékát színeztük ekkor szürkére a nagy négyzetnek?
b) Ismételjük meg ezt az eljárást végtelen sokszor. Hány százalékát színeztük így szürkére a nagy négyzetnek?  (14 pont)
 
 
 

 
4. Adjuk meg azt a két egymást követő egész számot, amelyek közé esik a következő összeg:
 
lg(1113)+lg(11235)+lg(11357)+...+lg(115009991001).
  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. A 2 cm sugarú gömb alakú bonbonokat ötösével négyzet alapú, gúla alakú dobozokba csomagolják úgy, hogy négy kerül alulra, egy a tetejére. Minden alsó gömb érinti a felsőt és két szomszédos alsót, továbbá érinti a gúla alaplapját és két szomszédos oldallapját. A felső gömb mind a négy oldallapot érinti.
 
a) Milyen magas a doboz?
 
b) Mekkora a doboz felszíne?  (16 pont)
 

 
6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket:
 

a) x+2x+1=3x+13;
 

b) log2(x3+26)log4(x+2)=6;
 

c) 2sin2x+sin22x=2.  (16 pont)
 

 
7. Adott a koordinátarendszerben a k1:x2+y2=9 és a k2:(x-17)2+(y-7)2=100 kör. Igazoljuk, hogy a két kör vízszintes közös külső és a pozitív meredekségű közös belső érintőjének metszéspontjából derékszögben látszik a két kör középpontja által meghatározott szakasz.  (16 pont)
 

 
8. A szabó egy farsangi pillangójelmezhez az ábrán látható mintát használja, amit a boltban vásárolt téglalap alakú anyagból vág ki. A szabásminta egy parabolaívből és egy körívből áll.
a) Az anyag hány százaléka lesz hulladék?
b) Adjuk meg a parabola és a kör összes metszéspontját.
  (16 pont)
 
 
 

 
9. A 2012-es londoni olimpián csapatunk 8 arany-, 4 ezüst- és 5 bronzérmet szerzett. Nem volt olyan versenyszám, amiben két magyar érem született.
 
a) Hányféleképpen sorolhatjuk föl azokat a versenyszámokat, amelyekben csapatunk érmet szerzett, úgy, hogy először az aranyérmesek, utána az ezüstérmesek, végül a bronzérmesek versenyszámait nevezzük meg?
 
b) Hányféleképpen sorolhatjuk fel a fenti 17 versenyszámot, ha az azonos színű érmet hozó számok közül mindig azt soroljuk fel hamarabb, amelyik korábban ért véget?
 
c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az érmes versenyszámaink közül véletlenszerűen hármat választva az azokhoz tartozó érmek különböző színűek lesznek?  (16 pont)
 Gedeon Veronika
 (Budapest)